Система Титса

проверено

Двойной смежный класс

Определение 1. Пусть $G$группа, $B$ — ее подгруппа. Тогда прямое произведение групп $B\times B$ действует на $G$ по правилу $(b_1,b_2)\cdot g=b_1gb_2^{-1}$, где $b_1,b_2\in B$ и $g\in G$. Множество $BgB=\{b_1gb_2\vert b_1,b_2\in B\}$ называется двойным смежным классом1) $G$ по $B$.

Множества $BgB$ образуют разбиение группы $G$. Соответствующее фактормножество обозначается символом $B\backslash G/B$.

Определение системы Титса

Определение 2. Пусть $G$ — группа, $B$ и $N$ — ее подгруппы и $S$ — подмножество в $N/(B\cap N)$. Системой Титса2) называется четверка $(G,B,N,S)$, удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. множество $B\cup N$ порождает $G$ и $B\cap N$ является нормальной подгруппой группы $N$;
  2. множество $S$ порождает группу $W=N/(B\cap N)$ и состоит из элементов порядка 2;
  3. $sBw\subset BwB\cup BswB$ для $s\in S$ и $w\in W$;
  4. $sBs\not\subset B$ для любого $s\in S$.

Пример 1. Пусть $F$поле. Рассмотрим векторное пространство $F^n$ со стандартным базисом $\{e_i\}$. Пусть группа $G$ равна $\textrm{GL}_n(F)$, $B$ — подгруппа в $G$, состоящая из матриц с нулями ниже главной диагонали, $N$ — подгруппа в $G$, состоящая из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке ровно один элемент отличен от нуля. Группа $W=N/(B\cap N)$ отождествляется с симметрической группой $S_n$. Обозначим через $s_j$ элемент из $W$, соответствующий транспозиции $(j\ j+1)$. Пусть $S=\{s_j\}$. Тогда четверка $(G,B,N,S)$ будет системой Титса.

Разложение на двойные классы

Теорема 1. Имеет место равенство $G=BWB$. Соответствие $w\mapsto BwB$ является биективным отображением $W$ на множество $B\backslash G/B$ двойных смежных классов $G$ по $B$.

Литература

1) double coset
2) Tits system
glossary/group/system/tits.txt · Последние изменения: 23.01.2011 11:07:38 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0