Содержание
Система Титса
проверено
Двойной смежный класс
Определение 1. Пусть — группа,
— ее подгруппа. Тогда прямое произведение групп
действует на
по правилу
, где
и
. Множество
называется двойным смежным классом1)
по
.
Множества образуют разбиение группы
. Соответствующее фактормножество обозначается символом
.
Определение системы Титса
Определение 2. Пусть — группа,
и
— ее подгруппы и
— подмножество в
. Системой Титса2) называется четверка
, удовлетворяющая следующим аксиомам:
- множество
порождает группу
и состоит из элементов порядка 2;
для
и
;
для любого
.
Пример 1. Пусть — поле. Рассмотрим векторное пространство
со стандартным базисом
. Пусть группа
равна
,
— подгруппа в
, состоящая из матриц с нулями ниже главной диагонали,
— подгруппа в
, состоящая из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке ровно один элемент отличен от нуля. Группа
отождествляется с симметрической группой
. Обозначим через
элемент из
, соответствующий транспозиции
. Пусть
. Тогда четверка
будет системой Титса.
Разложение на двойные классы
Теорема 1. Имеет место равенство . Соответствие
является биективным отображением
на множество
двойных смежных классов
по
.