Представление алгебры Ли

Определение

Определение 1. Пусть $L$алгебра Ли над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$, $V$левый $R$-модуль, $\mathfrak{gl}(V)=\textrm{End}(V)_L$ — алгебра Ли эндоморфизмов модуля $V$. Гомоморфизм алгебр Ли

$\varphi\colon L\rightarrow\mathfrak{gl}(V)$

называется представлением1) алгебры Ли $L$. Иначе говоря, представление $\varphi$ алгебры Ли $L$ — это $R$-линейное отображение, удовлетворяющее условию

$\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]=\varphi(x)\circ\varphi(y)-\varphi(y)\circ\varphi(x)$ для всех $x,y\in L$.

Присоединенное представление

Пусть $L$ — алгебра Ли. Для каждого элемента $x\in L$ определено отображение $\textrm{ad}~x\colon L\rightarrow L$ по следующему правилу

$\textrm{ad}~x(y)=[x,y]$ для любого $y\in L$.

Предложение 1. Отображение $\textrm{ad}~x$ является дифференцированием алгебры Ли $L$.

Определение 2. Отображение $\textrm{ad}~x$ называется внутренним дифференцированием2) алгебры Ли $L$.

Предложение 2. Отображение $\textrm{ad}\colon x\mapsto\textrm{ad}~x$ является гомоморфизмом алгебр Ли $L\rightarrow\mathfrak{gl}(L)$.

Определение 3. Отображение $\textrm{ad}\colon L\rightarrow\mathfrak{gl}(L)\colon x\mapsto\textrm{ad}~x$ называется присоединенным представлением3) алгебры $L$.

Определение 4. Ядро присоединенного представления

$Z(L)=\textrm{ker}~\varphi=\{x\in L|[x,y]=0 \forall y\in L\}$

называется центром4) алгебры Ли $L$.

См. также

Литература

1) representation
2) inner derivation
3) adjoint representation
4) center
glossary/algebra/lie/representation.txt · Последние изменения: 04.03.2013 21:59:58 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0