Определение 1. Бинарным отношением1) между множествами и называется любое подмножество прямого произведения . Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары к бинарному отношению вместо записи используют обозначения или . При этом говорят, что находится в отношении к .
Если , то говорят, что задано на множестве .
Пример 1. Пусть и . Тогда подмножество в является бинарным отношением между множествами и
Пример 2. На множестве целых чисел отношение делимости, состоящее из упорядоченных пар , в которых делится на , является бинарным отношением. В этом случае обозначение заменяется на .
Пример 3. На множестве действительных чисел упорядочение является бинарным отношением на , состоящим из всех точек плоскости , лежащих не ниже прямой .
Пример 4. Для функции ее график является бинарным отношением между и .
Определение 2. Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством рефлексивности2), если для всех .
Определение 3. Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством антирефлексивности3), если для всех .
Определение 4. Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством симметричности4), если влечет за собой для всех .
Определение 5. Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством антисимметричности5), если , , влечет за собой для всех .
Определение 6. Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством транзитивности6), если и влечет за собой для всех .
Определение 7. Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством связанности7), если или для всех .
Пример 5. Отношение делимости целых чисел из примера 2 является
Пример 6. Отношение порядка из примера 3 обладает свойствами
Отдельно выделяются бинарные отношения, обладающие «хорошим» набором свойств: