Нетерово кольцо
Нетерово слева кольцо
Пусть — ассоциативное кольцо.
Определение 1. Кольцо называется нетеровым слева1), если любое непустое множество его левых идеалов имеет максимальный элемент.
Предложение 1. Кольцо является нетеровым слева тогда и только тогда, когда множество его левых идеалов удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек: любая возрастающая цепочка левых идеалов
обрывается, то есть
.
Теорема 1. Если кольцо нетерово слева, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
Нетерово справа кольцо
Пусть — ассоциативное кольцо.
Определение 1. Кольцо называется нетеровым справа2), если любое непустое множество его правых идеалов имеет максимальный элемент.
Предложение 1. Кольцо является нетеровым справа тогда и только тогда, когда множество его правых идеалов удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек: любая возрастающая цепочка правых идеалов
обрывается, то есть
.
Теорема 1. Если кольцо нетерово справа, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
Нетерово кольцо
Определение 1. Кольцо называется нетеровым3), если оно одновременно нетерово слева и нетерово справа.
Пример 1. Пусть — нетерова коммутативная область целостности, не являющаяся полем и пусть
— поле частных для
. Рассмотрим кольцо
, образованное матрицами вида
, где
и
. Тогда кольцо
нетерово справа, но не нетерово слева.
Пример 2. Любое поле нетерово.
Пример 3. Кольцо целых чисел нетерово.
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.