Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:topology:sheaf [14.09.2011 20:26:16] Ладилова Анна |
glossary:topology:sheaf [16.01.2015 10:23:18] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Пучок топологического пространства ====== | ====== Пучок топологического пространства ====== | ||
| - | <wrap hide>проверено</wrap> | ||
| ===== Определение пучка ===== | ===== Определение пучка ===== | ||
| __Определение 1.__ [[:glossary:topology:presheaf|Предпучок]] <latex>\mathcal{F}</latex> [[:glossary:topology|топологического пространства]] <latex>(X,\tau)</latex> называется **пучком**((sheaf)), если для произвольного [[:glossary:topology|открытого подмножества]] <latex> U </latex> и его [[:glossary:topology:cover|открытого покрытия]] <latex>\{V_i\vert i\in\mathcal{I}\}</latex> выполнены | __Определение 1.__ [[:glossary:topology:presheaf|Предпучок]] <latex>\mathcal{F}</latex> [[:glossary:topology|топологического пространства]] <latex>(X,\tau)</latex> называется **пучком**((sheaf)), если для произвольного [[:glossary:topology|открытого подмножества]] <latex> U </latex> и его [[:glossary:topology:cover|открытого покрытия]] <latex>\{V_i\vert i\in\mathcal{I}\}</latex> выполнены | ||
| Строка 17: | Строка 16: | ||
| __Предложение 1.__ Пучок <latex>\mathcal{F}^+</latex>, ассоциированный с предпучком <latex>\mathcal{F}</latex>, является пучком((в смысле определения 1)). | __Предложение 1.__ Пучок <latex>\mathcal{F}^+</latex>, ассоциированный с предпучком <latex>\mathcal{F}</latex>, является пучком((в смысле определения 1)). | ||
| - | __Предложение 2.__ Пара <latex>(\mathcal{F}^+,\Theta)</latex>, состоящая из пучка <latex>\mathcal{F}^+</latex>, ассоциированного с предпучком <latex>\mathcal{F}</latex> и [[::glossary:topology:sheaf:morphism#морфизм_предпучков|морфизма предпучков]] <latex>\Theta\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F}^+</latex>, который элементу <latex>s\in\mathcal{F}(U)</latex> ставит в соответствие функцию <latex>P\mapsto s_P</latex> --- взятие [[:glossary:topology:presheaf|ростка]] [[:glossary:topology:presheaf|сечения]] <latex>s</latex> в точке <latex>P\in U</latex>, обладает универсальным свойством:\\ для любого пучка <latex>\mathcal{G}</latex> и морфизма предпучков <latex>\varphi\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}</latex> существует единственный морфизм пучков <latex>\psi\colon\mathcal{F}^+\rightarrow\mathcal{G}</latex>, делающий коммутативной диаграмму <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}\node{\mathcal{F}}\arrow[2]{e,t}{\Theta}\arrow{se,b}{\varphi}\node[2]{\mathcal{F}^+}\arrow{sw,b}{\psi}\\\node[2]{\mathcal{G}}\end{diagram}</latex>.</WRAP> | + | __Предложение 2.__ Пара <latex>(\mathcal{F}^+,\Theta)</latex>, состоящая из пучка <latex>\mathcal{F}^+</latex>, ассоциированного с предпучком <latex>\mathcal{F}</latex> и [[::glossary:topology:sheaf:morphism#морфизм_предпучков|морфизма предпучков]] <latex>\Theta\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F}^+</latex>, который элементу <latex>s\in\mathcal{F}(U)</latex> ставит в соответствие функцию <latex>P\mapsto s_P</latex> --- взятие [[:glossary:topology:presheaf|ростка]] [[:glossary:topology:presheaf|сечения]] <latex>s</latex> в точке <latex>P\in U</latex>, обладает универсальным свойством:\\ для любого пучка <latex>\mathcal{G}</latex> и морфизма предпучков <latex>\varphi\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}</latex> существует единственный [[::glossary:topology:sheaf:morphism#морфизм_пучков|морфизм пучков]] <latex>\psi\colon\mathcal{F}^+\rightarrow\mathcal{G}</latex>, делающий коммутативной диаграмму <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}\node{\mathcal{F}}\arrow[2]{e,t}{\Theta}\arrow{se,b}{\varphi}\node[2]{\mathcal{F}^+}\arrow{sw,b}{\psi}\\\node[2]{\mathcal{G}}\end{diagram}</latex>.</WRAP> |
| __Определение 3.__ **Подпучком**((subshief)) пучка <latex>\mathcal{F}</latex> называется пучок <latex>\mathcal{F}'</latex> такой, что <latex>\mathcal{F}'(U)</latex> является [[:glossary:group|подгруппой]] [[:glossary:group#абелева_группа|абелевой группы]] ((соответственно, подмножеством,подкольцом кольца, подалгеброй алгебры)) <latex>\mathcal{F}(U)</latex> для всех <latex>U\in\tau</latex> и [[:glossary:topology:presheaf|отображения ограничения]] для пучка <latex>\mathcal{F}'</latex> индуцированы отображениями ограничения для пучка <latex>\mathcal{F}</latex>. | __Определение 3.__ **Подпучком**((subshief)) пучка <latex>\mathcal{F}</latex> называется пучок <latex>\mathcal{F}'</latex> такой, что <latex>\mathcal{F}'(U)</latex> является [[:glossary:group|подгруппой]] [[:glossary:group#абелева_группа|абелевой группы]] ((соответственно, подмножеством,подкольцом кольца, подалгеброй алгебры)) <latex>\mathcal{F}(U)</latex> для всех <latex>U\in\tau</latex> и [[:glossary:topology:presheaf|отображения ограничения]] для пучка <latex>\mathcal{F}'</latex> индуцированы отображениями ограничения для пучка <latex>\mathcal{F}</latex>. | ||
| __Определение 4.__ Пусть <latex>\mathcal{F}'</latex> --- подпучок пучка <latex>\mathcal{F}</latex>. Пучок <latex>\mathcal{F}/\mathcal{F}'</latex>, ассоциированный с предпучком <latex>\mathcal{F}/\mathcal{F}'(U)=\mathcal{F}(U)/\mathcal{F}'(U)</latex> называется **факторпучком**((factor shief)). | __Определение 4.__ Пусть <latex>\mathcal{F}'</latex> --- подпучок пучка <latex>\mathcal{F}</latex>. Пучок <latex>\mathcal{F}/\mathcal{F}'</latex>, ассоциированный с предпучком <latex>\mathcal{F}/\mathcal{F}'(U)=\mathcal{F}(U)/\mathcal{F}'(U)</latex> называется **факторпучком**((factor shief)). | ||
| + | ===== Пучок колец на простом спектре ===== | ||
| + | Для простого идеала <latex>\mathfrak{p}\subset A</latex> через <latex>A_{\mathfrak{p}}</latex> обозначается [[:glossary:ring:commutative:quotient#локализация|локальное кольцо]] кольца <latex>A</latex>. | ||
| + | |||
| + | [[:glossary:topology:sheaf|Пучок]] <latex>\mathcal{O}</latex> на простом спектре кольца <latex>A</latex> определяется следующим образом. Каждому [[:glossary:topology|открытому]] подмножеству <latex>U\subseteq\textrm{Spec}~A</latex> поставим в соответствие множество <latex>\mathcal{O}(U)=\{s\colon U\rightarrow\prod_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}}\}</latex>, в котором отображения <latex>s</latex> удовлетворяют свойствам | ||
| + | - <latex>s(\mathfrak{p})\in A_{\mathfrak{p}}</latex> для любого <latex>\mathfrak{p}\in U</latex>; | ||
| + | - для любой точки <latex>\mathfrak{p}\in U</latex> существуют ее открытая окрестность <latex>\mathfrak{p}\in V\subseteq U</latex> и элементы кольца <latex>a,f\in A</latex>, что <latex>s(\mathfrak{q})=\dfrac{a}{f},f\not\in\mathfrak{q}</latex> для произвольной точки <latex>\mathfrak{q}\in V</latex>. | ||
| + | |||
| + | Множество <latex>\mathcal{O}(U)</latex> является кольцом с операцией [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] <latex>+</latex> и операцией [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножения]] <latex>\cdot</latex>, определенными формулами: | ||
| + | - <latex>(s+s')(\mathfrak{p})=s(\mathfrak{p})+s'(\mathfrak{p})</latex>; | ||
| + | - <latex>(s\cdot s')(\mathfrak{p})=s(\mathfrak{p})\cdot s'(\mathfrak{p})</latex>. | ||
| + | [[:glossary:element:groupoid:identity|Единичный]] и [[:glossary:element:groupoid:identity|нулевой]] элементы этого кольца --- отображения, переводящие каждую точку <latex>\mathfrak{p}\in U</latex> в 0 и 1 кольца <latex>A_{\mathfrak{p}}</latex>, соответственно. | ||
| + | |||
| + | __Теорема 1.__ Топологическое пространство <latex>\textrm{Spec}~A</latex> вместе с определенным выше пучком колец является [[:glossary:topology:space:ringed|локально окольцованным пространством]]. | ||
| ===== См. также ===== | ===== См. также ===== | ||
| * [[:glossary:topology:sheaf:morphism|Морфизм пучков]] | * [[:glossary:topology:sheaf:morphism|Морфизм пучков]] | ||
| Строка 28: | Строка 40: | ||
| * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/105336/?partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.]] | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/105336/?partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.]] | ||
| - | {{tag>"топология" "подпучок" "постоянный пучок" "предпучок" "пучок" "топологическое пространство" "факторпучок"}} | + | {{tag>"алгебраическая геометрия" "подпучок" "постоянный пучок" "предпучок" "пучок" "топологическое пространство" "факторпучок"}} |
