Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия
Предыдущая версия
Следующая версия Следующая версия справа и слева
glossary:topology:point [09.01.2011 14:41:14]
Ладилова Анна
glossary:topology:point [09.01.2011 19:59:14]
Ладилова Анна
Строка 1: Строка 1:
 ====== Точка в топологическом пространстве ====== ====== Точка в топологическом пространстве ======
 +<wrap hide>​проверено</​wrap>​
 ===== Описание ===== ===== Описание =====
-Пусть <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- [[:​glossary:​topology|топологическое пространство]],​ <​latex>​A\subseteq X</​latex>​ --- непустое подмножество,​ <​latex>​x\in X</​latex>​ --- некоторая точка.+Пусть <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- [[:​glossary:​topology|топологическое пространство]],​ <​latex>​A\subseteq X</​latex>​ --- непустое ​[[:​glossary:​set|подмножество]], <​latex>​x\in X</​latex>​ --- некоторая точка.
  
 __Определение 1.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **внутренней точкой**((inner point, interior point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если существует [[:​glossary:​topology:​neighborhood|окрестность]] <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>,​ целиком лежащая в <​latex>​ A </​latex>:​ <​latex>​x\in U_x\subseteq A</​latex>​. **Множество внутренних точек**((interior of set)) множества <​latex>​ A </​latex>​ обозначают <​latex>​\textrm{Int}~A</​latex>​. __Определение 1.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **внутренней точкой**((inner point, interior point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если существует [[:​glossary:​topology:​neighborhood|окрестность]] <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>,​ целиком лежащая в <​latex>​ A </​latex>:​ <​latex>​x\in U_x\subseteq A</​latex>​. **Множество внутренних точек**((interior of set)) множества <​latex>​ A </​latex>​ обозначают <​latex>​\textrm{Int}~A</​latex>​.
Строка 7: Строка 8:
 __Определение 2.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **внешней точкой**((outside point, exterior point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если существует окрестность <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>,​ не пересекающаяся с множеством <​latex>​ A </​latex>:​ <​latex>​U_x\cap A=\varnothing</​latex>​ или <​latex>​x\in U_x\subseteq X\backslash A</​latex>​. **Множество внешних точек**((exterior)) множества <​latex>​ A </​latex>​ обозначают <​latex>​\textrm{Ext}~A</​latex>​. __Определение 2.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **внешней точкой**((outside point, exterior point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если существует окрестность <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>,​ не пересекающаяся с множеством <​latex>​ A </​latex>:​ <​latex>​U_x\cap A=\varnothing</​latex>​ или <​latex>​x\in U_x\subseteq X\backslash A</​latex>​. **Множество внешних точек**((exterior)) множества <​latex>​ A </​latex>​ обозначают <​latex>​\textrm{Ext}~A</​latex>​.
  
-__Определение 3.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **граничной точкой**((frontier point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если для любой окрестности <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>​ выполнено:​ <​latex>​(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)</​latex>​. Множество граничных точек называют также **границей множества**((frontier of set)) <​latex>​ A </​latex>​ и обозначают <​latex>​\textrm{Fr}~A</​latex>​.+__Определение 3.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **граничной точкой**((frontier point)) множества <​latex>​ A </​latex>, ​если <​latex>​x</​latex>​ не является ни внутренней точкой множества <​latex>​ A </​latex>,​ ни внутренней точкой множества <​latex>​X\backslash A</​latex>,​ то есть ​если для любой окрестности <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>​ выполнено:​ <​latex>​(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)</​latex>​. Множество граничных точек называют также **границей множества**((frontier of set)) <​latex>​ A </​latex>​ и обозначают <​latex>​\textrm{Fr}~A</​latex>​.
  
-__Определение 4.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **точкой прикосновения**((adherent point, closure point, point of closure)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если она либо внутренняя либо граничная,​ то есть любая окрестность <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>​ имеет непустое пересечение с множеством <​latex>​ A </​latex>:​ <​latex>​U_x\cap A\neq\varnothing</​latex>​. Множество точек прикосновения называют также **замыканием множества**((closure of set)) <​latex>​ A </​latex>​ и обозначают <​latex>​\overline{A}</​latex>​.+__Пример 1.__ Рассмотрим множество [[:​glossary:​set:​real|действительных чисел]] <​latex>​\mathbb{R}</​latex>​ с [[:​glossary:​topology|обычной топологией]]. Тогда границей подмножества <​latex>​\mathbb{Q}</​latex>​ [[:​glossary:​set:​integer:​rational|рациональных чисел]] является <​latex>​\mathbb{R}</​latex>​. 
 + 
 +__Определение 4.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **точкой прикосновения**((adherent point, closure point, point of closure)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если она либо внутренняялибо граничная,​ то есть любая окрестность <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>​ имеет непустое пересечение с множеством <​latex>​ A </​latex>:​ <​latex>​U_x\cap A\neq\varnothing</​latex>​. Множество точек прикосновения называют также **замыканием множества**((closure of set)) <​latex>​ A </​latex>​ и обозначают <​latex>​\overline{A}</​latex>​.
  
 __Определение 5.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **предельной точкой**((accumulation point, limit point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если для любой окрестности <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>​ выполнено:​ <​latex>​(U_x\backslash\{x\})\cap A\neq\varnothing</​latex>​. **Множество предельных точек**((cluster set)) множества <​latex>​ A </​latex>​ обозначают <​latex>​A'</​latex>​. __Определение 5.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **предельной точкой**((accumulation point, limit point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если для любой окрестности <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>​ выполнено:​ <​latex>​(U_x\backslash\{x\})\cap A\neq\varnothing</​latex>​. **Множество предельных точек**((cluster set)) множества <​latex>​ A </​latex>​ обозначают <​latex>​A'</​latex>​.
  
 __Определение 6.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **изолированной точкой**((isolated point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если существует окрестность <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>​ не содержащая других точек множества <​latex>​ A </​latex>:​ <​latex>​U_x\cap A=\{x\}</​latex>​. Множество,​ состоящее только из изолированных точек, называется **дискретным множеством**((discrete set)). __Определение 6.__ Говорят,​ что <​latex>​ x </​latex>​ является **изолированной точкой**((isolated point)) множества <​latex>​ A </​latex>,​ если существует окрестность <​latex>​U_x\in\tau</​latex>​ точки <​latex>​ x </​latex>​ не содержащая других точек множества <​latex>​ A </​latex>:​ <​latex>​U_x\cap A=\{x\}</​latex>​. Множество,​ состоящее только из изолированных точек, называется **дискретным множеством**((discrete set)).
 +
 +__Пример 2.__ Рассмотрим топологическое пространство <​latex>​(\mathbb{R},​\tau_U)</​latex>​ и множество <​latex>​A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup[0,​1)</​latex>​. Тогда имеем:
 +    - внутренние точки: <​latex>​\textrm{Int}~A=(0,​1)</​latex>,​
 +    - граница множества:​ <​latex>​\textrm{Fr}~A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup\{0,​1\}</​latex>,​
 +    - замыкание множества:​ <​latex>​\overline{A}=A\cup\{1\}</​latex>,​
 +    - предельные точки: <​latex>​A'​=[0,​1]</​latex>,​
 +    - дискретное множество:​ <​latex>​\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}</​latex>​.
  
 __Предложение 1.__ Пусть <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- топологическое пространство и <​latex>​ A </​latex>​ --- подмножество <​latex>​ X </​latex>​. Тогда <​latex>​\textrm{Int}~A</​latex>​ --- наибольшее открытое множество,​ лежащее в <​latex>​ A </​latex>,​ то есть выполнено:​ __Предложение 1.__ Пусть <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- топологическое пространство и <​latex>​ A </​latex>​ --- подмножество <​latex>​ X </​latex>​. Тогда <​latex>​\textrm{Int}~A</​latex>​ --- наибольшее открытое множество,​ лежащее в <​latex>​ A </​latex>,​ то есть выполнено:​
Строка 28: Строка 38:
  
 __Следствие 2.__ <​latex>​\overline{A}=\underset{F\in\mathcal{F},​A\subseteq F}{\bigcap}F</​latex>​ --- пересечение всех замкнутых множеств,​ содержащих <​latex>​ A </​latex>​. __Следствие 2.__ <​latex>​\overline{A}=\underset{F\in\mathcal{F},​A\subseteq F}{\bigcap}F</​latex>​ --- пересечение всех замкнутых множеств,​ содержащих <​latex>​ A </​latex>​.
-===== Примеры ===== +
-  * Рассмотрим топологическое пространство <​latex>​(\mathbb{R},​\tau_U)</​latex>​ и множество <​latex>​A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup[0,​1)</​latex>​. Тогда имеем:​ +
-    - внутренние точки: <​latex>​\textrm{Int}~A=(0,​1)</​latex>,​ +
-    - граница множества:​ <​latex>​\textrm{Fr}~A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup\{0,​1\}</​latex>,​ +
-    - замыкание множества:​ <​latex>​\overline{A}=A\cup\{1\}</​latex>,​ +
-    - предельные точки: <​latex>​A'​=[0,​1]</​latex>,​ +
-    - дискретное множество:​ <​latex>​\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}</​latex>​.+
 ===== Литература ===== ===== Литература =====
   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​97679/?​partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию»,​ Наука, 1995.]]   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​97679/?​partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию»,​ Наука, 1995.]]
glossary/topology/point.txt · Последние изменения: 28.09.2013 15:08:53 — Администратор
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0