Лист Мёбиуса

Описание

Если ленту прямоугольной формы один раз перекрутить, а затем концы ее склеить так, как показано на рисунке, то получится поверхность, которая называется листом Мебиуса¹⁾.

Геометрия

С точки зрения более формального подхода лист Мебиуса — это поверхность, которую описывает отрезок $AB$ при его равномерном движении вдоль окружности. Движение происходит таким образом, что центр $O$ этого отрезка лежит на окружности, а сам отрезок, совершив полный оборот по окружности, поворачивается на угол $\pi$ относительно плоскости данной окружности. При этом если длина отрезка $AB$ равна $b$ , а радиус окружности — $a$ , то вводя систему координат так, что ось $OZ$ перпендикулярна к плоскости, в которой расположена окружность, и проходит через центр этой окружности, мы получаем следующую параметризацию листа Мебиуса

$\begin{cases}x=\cos u(a+b\dfrac{v}{2}\sin\dfrac{u}{2}),\\ \\y=\sin u(a+b\dfrac{v}{2}\sin\dfrac{u}{2}),\\ \\z=b\dfrac{v}{2}\cos\dfrac{u}{2},\end{cases}$

где $u\in[0;2\pi)$ , $v\in[-1,1]$ .

Топология

Еще более формальный подход позволяет определить лист Мебиуса как факторпространство. В прямогуольнике $\{(x,y)|-a\pi\leqslant x\leqslant a\pi,-b/2\leqslant y\leqslant b/2\}$ будем считать точки $(-a,y)$ и $(a,-y)$ эквивалентными. Тогда фактормножество — это лист Мебиуса.