Аффинное пространство

Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Определение 1. $n$ -мерным аффинным пространством над полем $F$ называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:

Существует по меньшей мере одна точка¹⁾.
Каждой паре точек $A,B$ , заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через $\overline{AB}$ .
Для каждой точки $A$ и каждого вектора $x$ существует одна и только одна точка $B$ такая, что $\overline{AB}=x$ ²⁾.
(Аксиома параллелограмма.) Если $\overline{AB}=\overline{CD}$ , то $\overline{AC}=\overline{BD}$ .
Каждому вектору $x$ и каждому числу $\alpha\in F$ поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается $\alpha x$ и называется произведением вектора $x$ на число $\alpha$ .
$1x=x$ для любого вектора $x$ .
$(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$ для всех $\alpha,\beta\in F$ .
$\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y$ для любых векторов $x,y$ .
$\alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x$ для всех $\alpha,\beta\in F$ .
Существует $n$ линейно независимых векторов, но любые $n+1$ векторов линейно зависимы между собой.