Аффинное пространство
Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства
Определение 1. -мерным аффинным пространством над полем
называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:
- Существует по меньшей мере одна точка1).
- Каждой паре точек
, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через
.
- (Аксиома параллелограмма.) Если
, то
.
- Каждому вектору
и каждому числу
поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается
и называется произведением вектора
на число
.
для любого вектора
.
для всех
.
для любых векторов
.
для всех
.
Пример 1. Трехмерное пространство является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел
.
Литература
1)
Понятие точки, равно как и понятие вектора, считаются неопределяемыми.
2)
То есть вектор
и вектор
— это один и тот же вектор
![$\overline{AB}$ $\overline{AB}$](/doku.php/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3Ac33da6a54ff9f9ac11cd5e83f8fd3046.png)
![$x$ $x$](/doku.php/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3A41466748bf14f41563d930da513b7b8a.png)