Аффинное пространство

Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Определение 1. $n$-мерным аффинным пространством над полем $F$ называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:

  1. Существует по меньшей мере одна точка1).
  2. Каждой паре точек $A,B$, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через $\overline{AB}$.
  3. Для каждой точки $A$ и каждого вектора $x$ существует одна и только одна точка $B$ такая, что $\overline{AB}=x$2).
  4. (Аксиома параллелограмма.) Если $\overline{AB}=\overline{CD}$, то $\overline{AC}=\overline{BD}$.
  5. Каждому вектору $x$ и каждому числу $\alpha\in F$ поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается $\alpha x$ и называется произведением вектора $ x $ на число $\alpha$.
  6. $1x=x$ для любого вектора $ x $.
  7. $(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$ для всех $\alpha,\beta\in F$.
  8. $\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y$ для любых векторов $x,y$.
  9. $\alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x$ для всех $\alpha,\beta\in F$.
  10. Существует $ n $ линейно независимых векторов, но любые $n+1$ векторов линейно зависимы между собой.

Пример 1. Трехмерное пространство $\mathbb{R}^3$ является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел $(a_1,a_2,a_3)$.

Литература

1) Понятие точки, равно как и понятие вектора, считаются неопределяемыми.
2) То есть вектор $\overline{AB}$ и вектор $x$ — это один и тот же вектор
glossary/space/affine.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:09:38 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0