Максимальный идеал в коммутативном кольце

Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Собственный идеал кольца называется максимальным¹⁾, если он не содержится ни в каком другом собственном идеале кольца .

Предложение 1. Идеал кольца максимальный тогда и только тогда, когда факторкольцо — поле.

Предложение 2. В каждом ненулевом кольце существует максимальный идеал.

Предложение 3. Каждый собственный идеал кольца содержится в некотором максимальном идеале.

Предложение 4. Каждый необратимый элемент кольца содержится в некотором максимальном идеале.

Предложение 5. Каждый максимальный идеал прост.

• Простой идеал

• Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.