Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- glossary:ring:artinian [11.10.2011 18:50:21]
Ладилова Анна
+++ glossary:ring:artinian [11.10.2011 20:09:58]
Ладилова Анна
@@ Строка 25: / Строка 25: @@
 __Теорема 1.__ Если кольцо <latex>R</latex> артиново слева, то <latex>J(R)</latex> --- [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|нильпотентный идеал]].
 <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
-Пусть <latex>R</latex> артиново слева, тогда, в частности убывающая цепочка идеалов <latex>J(R)\supseteq J(R)^2\supseteq\ldots\supseteq J(R)^m\supseteq</latex> обрывается, то есть <latex>J(R)^m=J(R)^{m+1}=\ldots=J(R)^{2m}</latex>. Покажем, что <latex>J(R)^m=(0)</latex>.
+Пусть <latex>R</latex> артиново слева, тогда, в частности, убывающая цепочка идеалов <latex>J(R)\supseteq J(R)^2\supseteq\ldots\supseteq J(R)^m\supseteq\ldots</latex> обрывается, то есть <latex>J(R)^m=J(R)^{m+1}=\ldots=J(R)^{2m}</latex>. Покажем, что <latex>J(R)^m=(0)</latex>.
 Рассмотрим множество <latex>W=\{x\in R|J(R)^mx=0\}</latex>. Это двусторонний идеал в <latex>R</latex>, так как <latex>x_1+x_2\in W</latex> для <latex>x_1,x_2\in W</latex>, <latex>J(R)^m(yx)=(J(R)^my)x\subseteq J(R)^mx=0</latex> и <latex>J(R)^mxy=0</latex> для <latex>x\in W</latex>.
-Если <latex>W\supseteq J(R)^m</latex>, то <latex>0=J(R)^mW\supseteq J(R)^mJ(R)^m=J(R)^{2m}=J(R)^m</latex>, то есть <latex>J(R)^m=0</latex>, что и требовалось.
+Предположим, что  <latex>W\not\supseteq J(R)^m</latex>. При канонической проекции <latex>\pi\colon R\rightarrow R/W</latex> образ <latex>J(R)^m</latex> отличен от нуля. По предложению 3 кольцо <latex>R/W</latex> артиново, поэтому найдется минимальный ненулевой левый идеал <latex>\overline{\rho}</latex>, <latex>J(R)^m\supseteq\overline{\rho}</latex>. В силу минимальности <latex>\overline{\rho}</latex> либо неприводимый <latex>R/W</latex>-модуль, либо <latex>(R/W)\overline{\rho}=0</latex>.
-Пусть <latex>W\not\supseteq J(R)^m</latex>. При канонической проекции <latex>\pi\colon R\rightarrow R/W</latex> образ <latex>J(R)^m</latex> отличен от нуля. По предложению 3 кольцо <latex>R/W</latex> артиново, поэтому найдется минимальный ненулевой левый идеал <latex>\overline{\rho}</latex>, <latex>J(R)^m\supseteq\overline{\rho}</latex>. В силу минимальности <latex>\overline{\rho}</latex> либо неприводимый <latex>R/W</latex>-модуль, либо <latex>(R/W)\overline{\rho}=0</latex>.
+Если <latex>\overline{\rho}</latex>  неприводим, то <latex>\pi(J(R))</latex> по определению содержится в аннуляторе <latex>\overline{\rho}</latex>, то есть <latex>\pi(J(R))\overline{\rho}=0</latex>. В любом случае <latex>\pi(J(R)^m)\overline{\rho}=0</latex>. Переходя к прообразам и обозначая <latex>\rho=\pi^{-1}(\overline{\rho})</latex>, заключаем, что <latex>J(R)^m\rho\subseteq W</latex>, то есть <latex>J(R)^m\rho=J(R)^{2m}\rho=J(R)^mJ(R)^m\rho\subseteq J(R)^mW=0</latex>. Следовательно, <latex>\rho\subseteq W</latex>, или <latex>\overline{\rho}=0</latex>, что противоречит предположению. Таким образом, случай <latex>W\not\supseteq J(R)^m</latex> невозможен.
-Если <latex>\overline{\rho}</latex>  неприводим, то <latex>\pi(J(R))</latex> по определению содержится в аннуляторе <latex>\overline{\rho}</latex>, то есть <latex>\pi(J(R))\overline{\rho}=0</latex>. В любом случае <latex>\pi(J(R)^m)\overline{\rho}=0</latex>.
+Если <latex>W\supseteq J(R)^m</latex>, то <latex>0=J(R)^mW\supseteq J(R)^mJ(R)^m=J(R)^{2m}=J(R)^m</latex>, то есть <latex>J(R)^m=0</latex>, что и требовалось.
  <latex>\blacksquare</latex>
 </hidden>
-__Следствие 1.__ Если кольцо <latex> R </latex> артиново слева, то любой его [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|ниль-идеал]] (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
+__Следствие 1.__ Если кольцо <latex>R</latex> артиново слева, то любой его [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|ниль-идеал]] (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
+<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
+Любой ниль-идеал ассоциативного кольца содержится в радикале Джекобсона <latex>J(R)</latex>((см. [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|следствие 1]])), поэтому он также нильпотентен.
+ <latex>\blacksquare</latex>
+</hidden>
 ===== Артиново справа кольцо =====
 Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативное кольцо]].

glossary/ring/artinian.txt · Последние изменения: 11.10.2011 20:09:58 — Ладилова Анна

Наверх