Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | Следующая версия Следующая версия справа и слева | ||
|
glossary:ring:artinian [11.10.2011 18:50:21] Ладилова Анна |
glossary:ring:artinian [11.10.2011 20:03:15] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 29: | Строка 29: | ||
| Рассмотрим множество <latex>W=\{x\in R|J(R)^mx=0\}</latex>. Это двусторонний идеал в <latex>R</latex>, так как <latex>x_1+x_2\in W</latex> для <latex>x_1,x_2\in W</latex>, <latex>J(R)^m(yx)=(J(R)^my)x\subseteq J(R)^mx=0</latex> и <latex>J(R)^mxy=0</latex> для <latex>x\in W</latex>. | Рассмотрим множество <latex>W=\{x\in R|J(R)^mx=0\}</latex>. Это двусторонний идеал в <latex>R</latex>, так как <latex>x_1+x_2\in W</latex> для <latex>x_1,x_2\in W</latex>, <latex>J(R)^m(yx)=(J(R)^my)x\subseteq J(R)^mx=0</latex> и <latex>J(R)^mxy=0</latex> для <latex>x\in W</latex>. | ||
| - | Если <latex>W\supseteq J(R)^m</latex>, то <latex>0=J(R)^mW\supseteq J(R)^mJ(R)^m=J(R)^{2m}=J(R)^m</latex>, то есть <latex>J(R)^m=0</latex>, что и требовалось. | + | Предположим, что <latex>W\not\supseteq J(R)^m</latex>. При канонической проекции <latex>\pi\colon R\rightarrow R/W</latex> образ <latex>J(R)^m</latex> отличен от нуля. По предложению 3 кольцо <latex>R/W</latex> артиново, поэтому найдется минимальный ненулевой левый идеал <latex>\overline{\rho}</latex>, <latex>J(R)^m\supseteq\overline{\rho}</latex>. В силу минимальности <latex>\overline{\rho}</latex> либо неприводимый <latex>R/W</latex>-модуль, либо <latex>(R/W)\overline{\rho}=0</latex>. |
| - | Пусть <latex>W\not\supseteq J(R)^m</latex>. При канонической проекции <latex>\pi\colon R\rightarrow R/W</latex> образ <latex>J(R)^m</latex> отличен от нуля. По предложению 3 кольцо <latex>R/W</latex> артиново, поэтому найдется минимальный ненулевой левый идеал <latex>\overline{\rho}</latex>, <latex>J(R)^m\supseteq\overline{\rho}</latex>. В силу минимальности <latex>\overline{\rho}</latex> либо неприводимый <latex>R/W</latex>-модуль, либо <latex>(R/W)\overline{\rho}=0</latex>. | + | Если <latex>\overline{\rho}</latex> неприводим, то <latex>\pi(J(R))</latex> по определению содержится в аннуляторе <latex>\overline{\rho}</latex>, то есть <latex>\pi(J(R))\overline{\rho}=0</latex>. В любом случае <latex>\pi(J(R)^m)\overline{\rho}=0</latex>. Переходя к прообразам и обозначая <latex>\rho=\pi^{-1}(\overline{\rho})</latex>, заключаем, что <latex>J(R)^m\rho\subseteq W</latex>, то есть <latex>J(R)^m\rho=J(R)^{2m}\rho=J(R)^mJ(R)^m\rho\subseteq J(R)^mW=0</latex>. Следовательно, <latex>\rho\subseteq W</latex>, или <latex>\overline{\rho}=0</latex>, что противоречит предположению. Таким образом, случай <latex>W\not\supseteq J(R)^m</latex> невозможен. |
| - | Если <latex>\overline{\rho}</latex> неприводим, то <latex>\pi(J(R))</latex> по определению содержится в аннуляторе <latex>\overline{\rho}</latex>, то есть <latex>\pi(J(R))\overline{\rho}=0</latex>. В любом случае <latex>\pi(J(R)^m)\overline{\rho}=0</latex>. | + | Если <latex>W\supseteq J(R)^m</latex>, то <latex>0=J(R)^mW\supseteq J(R)^mJ(R)^m=J(R)^{2m}=J(R)^m</latex>, то есть <latex>J(R)^m=0</latex>, что и требовалось. |
| <latex>\blacksquare</latex> | <latex>\blacksquare</latex> | ||
| </hidden> | </hidden> | ||
