Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия
Предыдущая версия
glossary:polynomial:characteristic [08.01.2011 00:52:49]
127.0.0.1 внешнее изменение
glossary:polynomial:characteristic [15.02.2014 16:14:19]
Ладилова Анна
Строка 1: Строка 1:
 ====== Характеристический многочлен линейного оператора ====== ====== Характеристический многочлен линейного оператора ======
 +<wrap hide>​проверено</​wrap>​
 +
 Рассмотрим [[:​glossary:​space:​linear:​basis|конечномерное]] [[:​glossary:​space:​linear|векторное пространство]] <​latex>​ V </​latex>​ над [[:​glossary:​field|полем]] <​latex>​ F </​latex>​. Зафиксируем на нем [[:​glossary:​morphism:​space:​linear#​определение|линейный оператор]] <​latex>​\varphi\colon V\rightarrow V</​latex>​. Через <​latex>​A_{\varphi}</​latex>​ будем обозначать [[:​glossary:​matrix:​map:​linear|матрицу оператора]] <​latex>​\varphi</​latex>​ в некотором заранее выбранном [[:​glossary:​space:​linear:​basis|базисе]]. Рассмотрим [[:​glossary:​space:​linear:​basis|конечномерное]] [[:​glossary:​space:​linear|векторное пространство]] <​latex>​ V </​latex>​ над [[:​glossary:​field|полем]] <​latex>​ F </​latex>​. Зафиксируем на нем [[:​glossary:​morphism:​space:​linear#​определение|линейный оператор]] <​latex>​\varphi\colon V\rightarrow V</​latex>​. Через <​latex>​A_{\varphi}</​latex>​ будем обозначать [[:​glossary:​matrix:​map:​linear|матрицу оператора]] <​latex>​\varphi</​latex>​ в некотором заранее выбранном [[:​glossary:​space:​linear:​basis|базисе]].
 ===== Инвариантные подпространства ===== ===== Инвариантные подпространства =====
Строка 8: Строка 10:
 __Определение 2.__ Ненулевой вектор из одномерного подпространства,​ инвариантного относительно <​latex>​\varphi</​latex>,​ называется **собственным вектором**((eigenvector)) оператора <​latex>​\varphi</​latex>​. Таким образом,​ собственный вектор <​latex>​ v </​latex>​ оператора <​latex>​\varphi</​latex>​ удовлетворяет условию <​latex>​\varphi(v)=av</​latex>​. При этом скаляр <​latex>​a\in F</​latex>​ называется **собственным значением**((eigenvalue)) оператора <​latex>​\varphi</​latex>​. __Определение 2.__ Ненулевой вектор из одномерного подпространства,​ инвариантного относительно <​latex>​\varphi</​latex>,​ называется **собственным вектором**((eigenvector)) оператора <​latex>​\varphi</​latex>​. Таким образом,​ собственный вектор <​latex>​ v </​latex>​ оператора <​latex>​\varphi</​latex>​ удовлетворяет условию <​latex>​\varphi(v)=av</​latex>​. При этом скаляр <​latex>​a\in F</​latex>​ называется **собственным значением**((eigenvalue)) оператора <​latex>​\varphi</​latex>​.
  
-__Пример 1.__ Пусть <​latex>​ V </​latex>​ --- двумерное векторное пространство над [[:​glossary:​set:​real|полем действительных чисел]] <​latex>​\mathbb{R}</​latex>,​ и <​latex>​\varphi</​latex>​ --- линейный оператор на <​latex>​ V </​latex>,​ имеющий в некотором базисе <​latex>​e_1,​e_2\in V</​latex>​ матрицу <​latex>​A_{\varphi}=\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}</​latex>​. Тогда вектор <​latex>​u=e_1+2e_2</​latex>​ является собственным вектором оператора <​latex>​\varphi</​latex>​ с собственным значением <​latex>​ 3 </​latex>,​ а вектор <​latex>​v=e_1-2e_2</​latex>​ --- собственным вектором ​ с собственным значением <​latex>​-1</​latex>​. В этом можно удостовериться,​ решив уравнения,​ <align center><​latex>​\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}</​latex>​ и <​latex>​\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}</​latex>​.</​align>+__Пример 1.__ Пусть <​latex>​ V </​latex>​ --- двумерное векторное пространство над [[:​glossary:​set:​real|полем действительных чисел]] <​latex>​\mathbb{R}</​latex>,​ и <​latex>​\varphi</​latex>​ --- линейный оператор на <​latex>​ V </​latex>,​ имеющий в некотором базисе <​latex>​e_1,​e_2\in V</​latex>​ матрицу <​latex>​A_{\varphi}=\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}</​latex>​. Тогда вектор <​latex>​u=e_1+2e_2</​latex>​ является собственным вектором оператора <​latex>​\varphi</​latex>​ с собственным значением <​latex>​ 3 </​latex>,​ а вектор <​latex>​v=e_1-2e_2</​latex>​ --- собственным вектором ​ с собственным значением <​latex>​-1</​latex>​. В этом можно удостовериться,​ решив уравнения,​ <WRAP centeralign><​latex>​\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}</​latex>​ и <​latex>​\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}</​latex>​.</​WRAP>
  
 __Определение 3.__ Подпространство((Множество <​latex>​V^a</​latex>​ действительно является векторным пространством.)) <​latex>​V^a=\{v\in V\vert\varphi(v)=av\}</​latex>​ называется **собственным подпространством**((eigenspace)) оператора <​latex>​\varphi</​latex>​. Размерность <​latex>​\textrm{dim}V^a</​latex>​ называется **геометрической кратностью**((geometric multiplicity)) собственного значения <​latex>​ a </​latex>​. __Определение 3.__ Подпространство((Множество <​latex>​V^a</​latex>​ действительно является векторным пространством.)) <​latex>​V^a=\{v\in V\vert\varphi(v)=av\}</​latex>​ называется **собственным подпространством**((eigenspace)) оператора <​latex>​\varphi</​latex>​. Размерность <​latex>​\textrm{dim}V^a</​latex>​ называется **геометрической кратностью**((geometric multiplicity)) собственного значения <​latex>​ a </​latex>​.
Строка 43: Строка 45:
 __Пример 4.__ Пусть в предыдущем примере векторное пространство <​latex>​ V </​latex>​ рассматривается над [[:​glossary:​set:​complex|полем комплексных чисел]] <​latex>​\mathbb{C}</​latex>​. Тогда характеристическое уравнение оператора <​latex>​\varphi</​latex>​ имеет 2 корня <​latex>​(3\pm\sqrt{3}\iota)/​2</​latex>​. Следовательно,​ оператор <​latex>​\varphi</​latex>​ имеет простой спектр и поэтому диагонализируем. __Пример 4.__ Пусть в предыдущем примере векторное пространство <​latex>​ V </​latex>​ рассматривается над [[:​glossary:​set:​complex|полем комплексных чисел]] <​latex>​\mathbb{C}</​latex>​. Тогда характеристическое уравнение оператора <​latex>​\varphi</​latex>​ имеет 2 корня <​latex>​(3\pm\sqrt{3}\iota)/​2</​latex>​. Следовательно,​ оператор <​latex>​\varphi</​latex>​ имеет простой спектр и поэтому диагонализируем.
 ===== Литература ===== ===== Литература =====
-  * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​4620205/?​partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра»,​ МЦНМО, ​2009.]]+  * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​7631501/?​partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра»,​ МЦНМО, ​2012.]]
   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​2423932/?​partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия»,​ Лань, 2008.]]   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​2423932/?​partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия»,​ Лань, 2008.]]
  
 {{tag>"​линейная алгебра"​ "​алгебраическая кратность"​ "​геометрическая кратность"​ "​инвариантное пространство"​ "​линейный оператор"​ "​собственное значение"​ "​собственное подпространство"​ "​собственный вектор"​ "​спектр"​ "​характеристический многочлен"​ "​характеристическое уравнение"​}} {{tag>"​линейная алгебра"​ "​алгебраическая кратность"​ "​геометрическая кратность"​ "​инвариантное пространство"​ "​линейный оператор"​ "​собственное значение"​ "​собственное подпространство"​ "​собственный вектор"​ "​спектр"​ "​характеристический многочлен"​ "​характеристическое уравнение"​}}
glossary/polynomial/characteristic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:14:19 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0