Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
glossary:operation:binary:algebraic [16.01.2011 14:09:40] Ладилова Анна |
glossary:operation:binary:algebraic [15.02.2014 11:59:41] Ладилова Анна |
||
---|---|---|---|
Строка 2: | Строка 2: | ||
<wrap hide>проверено</wrap> | <wrap hide>проверено</wrap> | ||
===== Бинарная операция ===== | ===== Бинарная операция ===== | ||
- | __Определение 1.__ **Бинарная операция**((binary operation)) на непустом [[:glossary:set|множестве]] <latex> X </latex> --- это [[:glossary:mapping|отображение]] <latex>\mu:X\times X\rightarrow X</latex> из [[:glossary:product:direct|прямого произведения]] <latex>X\times X</latex> в <latex> X </latex>. | + | __Определение 1.__ **Бинарная операция**((binary operation)) на непустом [[:glossary:set|множестве]] <latex>X</latex> --- это [[:glossary:mapping|отображение]] <latex>\mu:X\times X\rightarrow X</latex> из [[:glossary:product:direct|прямого произведения]] <latex>X\times X</latex> в <latex>X</latex>. |
- | Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи <latex>\mu(x,y)</latex> используют запись <latex>x\mu y</latex>. Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы <latex> + </latex>, <latex>\ast</latex>, <latex>\circ,\,\cdot</latex> и так далее. | + | Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи <latex>\mu(x,y)</latex> используют запись <latex>x\mu y</latex>. Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы <latex>+</latex>, <latex>\ast</latex>, <latex>\circ,\,\cdot</latex> и так далее. |
На множестве <latex>X</latex> может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть, какая именно операция имеется ввиду, используют скобки, например, <latex>(X,\ast)</latex>. | На множестве <latex>X</latex> может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть, какая именно операция имеется ввиду, используют скобки, например, <latex>(X,\ast)</latex>. | ||
Строка 10: | Строка 10: | ||
__Пример 1.__ Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах: [[:glossary:group|группах]], [[:glossary:ring|кольцах]], [[:glossary:field|полях]] --- являются бинарными алгебраическими операциями. | __Пример 1.__ Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах: [[:glossary:group|группах]], [[:glossary:ring|кольцах]], [[:glossary:field|полях]] --- являются бинарными алгебраическими операциями. | ||
- | __Пример 2.__ Пусть <latex>\mathcal{P}(U)</latex> --- множество всех подмножеств множества <latex> U </latex>. Операции [[:glossary:set:algebra#операции_над_множествами|пересечения]] <latex>\cap</latex> и [[:glossary:set:algebra#операции_над_множествами|объединения]] <latex>\cup</latex> --- это бинарные алгебраические операции на множестве <latex>\mathcal{P}(U)</latex>. | + | __Пример 2.__ Пусть <latex>\mathcal{P}(U)</latex> --- множество всех подмножеств множества <latex>U</latex>. Операции [[:glossary:set:algebra#операции_над_множествами|пересечения]] <latex>\cap</latex> и [[:glossary:set:algebra#операции_над_множествами|объединения]] <latex>\cup</latex> --- это бинарные алгебраические операции на множестве <latex>\mathcal{P}(U)</latex>. |
- | __Пример 3.__ Операция, ставящая в соответствие двум [[:glossary:set:integer:positive|натуральным числам]] <latex> n </latex> и <latex> m </latex> их [[:glossary:arithmetic:theorem:fundamental#наибольший_общий_делитель_и_наименьшее_общее_кратное|наибольший общий делитель]] НОД<latex>(n,m)</latex>, является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел. | + | __Пример 3.__ Операция, ставящая в соответствие двум [[:glossary:set:integer:positive|натуральным числам]] <latex>n</latex> и <latex>m</latex> их [[:glossary:arithmetic:theorem:fundamental#наибольший_общий_делитель_и_наименьшее_общее_кратное|наибольший общий делитель]] НОД<latex>(n,m)</latex>, является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел. |
===== Виды бинарных операций ===== | ===== Виды бинарных операций ===== | ||
- | __Определение 2.__ Бинарная алгебраическая операция <latex>\ast</latex> на множестве <latex> X </latex> называется **коммутативной**((commutative)), если <latex>x\ast y=y\ast x</latex> для всех <latex>x,y\in X</latex>. | + | __Определение 2.__ Бинарная алгебраическая операция <latex>\ast</latex> на множестве <latex>X</latex> называется **коммутативной**((commutative)), если <latex>x\ast y=y\ast x</latex> для всех <latex>x,y\in X</latex>. |
- | __Определение 3.__ Бинарная алгебраическая операция <latex>\ast</latex> на множестве <latex> X </latex> называется **ассоциативной**((associative)), если <latex>(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)</latex> для всех <latex>x,y,z\in X</latex>. | + | __Определение 3.__ Бинарная алгебраическая операция <latex>\ast</latex> на множестве <latex>X</latex> называется **ассоциативной**((associative)), если <latex>(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)</latex> для всех <latex>x,y,z\in X</latex>. |
- | __Пример 4.__ Операция сложения <latex> + </latex> на множестве целых чисел <latex>\mathbb{Z}</latex> является коммутативной и ассоциативной. | + | __Пример 4.__ Операция сложения <latex>+</latex> на множестве целых чисел <latex>\mathbb{Z}</latex> является коммутативной и ассоциативной. |
- | __Пример 5.__ Операция [[:glossary:mapping:composite|композиции отображений]] на множестве <latex> X </latex> ассоциативна, но не коммутативна. | + | __Пример 5.__ Операция [[:glossary:mapping:composite|композиции отображений]] на множестве <latex>X</latex> ассоциативна, но не коммутативна. |
__Пример 6.__ Операция умножения <latex>[,]</latex> в [[:glossary:ring:lie|кольце Ли]] не является ни коммутативной, ни ассоциативной. | __Пример 6.__ Операция умножения <latex>[,]</latex> в [[:glossary:ring:lie|кольце Ли]] не является ни коммутативной, ни ассоциативной. | ||
===== Группоид ===== | ===== Группоид ===== | ||
- | __Определение 4.__ Множество <latex> X </latex> с заданной на нем бинарной алгебраической операцией, называется **группоидом**((groupoid)). | + | __Определение 4.__ Множество <latex>X</latex> с заданной на нем бинарной алгебраической операцией, называется **группоидом**((groupoid)). |
Если операция в группоиде обозначается символом <latex>+</latex>, то ее называют **сложением**((addition)) и говорят, что группоид записан **аддитивно**((additively)). Если операция в группоиде обозначается символом <latex>\cdot</latex>, то ее называют **умножением**((multiplication)) и говорят, что группоид записан **мультипликативно**((multiplicative)). | Если операция в группоиде обозначается символом <latex>+</latex>, то ее называют **сложением**((addition)) и говорят, что группоид записан **аддитивно**((additively)). Если операция в группоиде обозначается символом <latex>\cdot</latex>, то ее называют **умножением**((multiplication)) и говорят, что группоид записан **мультипликативно**((multiplicative)). | ||
+ | ===== См. также ===== | ||
+ | * [[:glossary:semigroup|Полугруппа]] | ||
+ | * [[:glossary:monoid|Моноид]] | ||
===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
- | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/101898/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», Физматлит, 2001.]] | + | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]] |
* Куликов Л.Я. <<Алгебра и теория чисел>>, Высшая школа, 1979. | * Куликов Л.Я. <<Алгебра и теория чисел>>, Высшая школа, 1979. | ||
* Курош А.Г. <<Общая алгебра>>, Наука, 1974. | * Курош А.Г. <<Общая алгебра>>, Наука, 1974. | ||
{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативность" "бинарная операция" "группоид" "коммутативность" "множество" "отображение" "прямое произведение" "сложение" "умножение"}} | {{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативность" "бинарная операция" "группоид" "коммутативность" "множество" "отображение" "прямое произведение" "сложение" "умножение"}} |