Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия Последняя версия Следующая версия справа и слева | ||
|
glossary:group:factor [17.01.2011 03:12:00] Ладилова Анна |
glossary:group:factor [17.01.2011 03:29:07] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 23: | Строка 23: | ||
| Соответственно, левые (правые) смежные классы являются [[:glossary:relation:equivalence|классами эквивалентности]] по данному отношению. | Соответственно, левые (правые) смежные классы являются [[:glossary:relation:equivalence|классами эквивалентности]] по данному отношению. | ||
| ===== Индекс подгруппы ===== | ===== Индекс подгруппы ===== | ||
| - | __Предложение 2.__ Число левых смежных классов группы <latex> G </latex> по подгруппе <latex> H </latex> равно числу правых смежных классов <latex> G </latex> по этой же подгруппе. | + | __Предложение 2.__ Число левых смежных классов группы <latex>G</latex> по подгруппе <latex>H</latex> равно числу правых смежных классов <latex>G</latex> по этой же подгруппе. |
| - | __Определение 4.__ **Индексом**((index)) подгруппы <latex> H </latex> в <latex> G </latex> называется число левых смежных классов группы <latex> G </latex> по <latex> H </latex>. Индекс обозначается символом <latex>(G:H)</latex>. | + | __Определение 4.__ **Индексом**((index)) подгруппы <latex>H</latex> в <latex>G</latex> называется число левых смежных классов группы <latex>G</latex> по <latex>H</latex>. Индекс обозначается символом <latex>(G:H)</latex>. |
| - | __Определение 5.__ Индекс [[:glossary:group|тривиальной подгруппы]] называется **порядком**((order)) группы <latex> G </latex>. При этом используют обозначения <latex>(G:1)</latex> или <latex>\textrm{ord}\,G</latex>. | + | __Определение 5.__ Индекс [[:glossary:group|тривиальной подгруппы]] называется **порядком**((order)) группы <latex>G</latex>. При этом используют обозначения <latex>(G:e)</latex> или <latex>\textrm{ord}\,G</latex>. |
| __Замечание 1.__ Индекс конечной группы --- это количество ее элементов. | __Замечание 1.__ Индекс конечной группы --- это количество ее элементов. | ||
| - | __Предложение 3. (**Теорема Лагранжа**.)__ Пусть <latex> H </latex> --- подгруппа группы <latex> G </latex> тогда <latex>(G:H)(H:1)=(G:1)</latex>. Если два из этих индексов конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство. Если порядок <latex>(G:1)</latex> конечен, то он делится на <latex>(H:1)</latex>. | + | __Предложение 3. (**Теорема Лагранжа**.)__ Пусть <latex>H</latex> --- подгруппа группы <latex>G</latex> тогда <latex>(G:H)(H:e)=(G:e)</latex>. Если два из этих индексов конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство. Если порядок <latex>(G:e)</latex> конечен, то он делится на <latex>(H:e)</latex>. |
| - | + | ||
| - | __Предложение 4.__ Пусть подгруппа <latex> H </latex> [[:glossary:group|нормальна]] в <latex> G </latex>. Тогда множество левых смежных классов группы <latex> G </latex> по подгруппе <latex> H </latex> является группой с операцией <latex>g_1H\cdot g_2H=(g_1\cdot g_2)H</latex>. | + | |
| ===== Определение факторгруппы ===== | ===== Определение факторгруппы ===== | ||
| - | __Определение 6.__ Группа смежных классов группы <latex> G </latex> по нормальной подгруппе <latex> H </latex> называется **факторгруппой**((factor group)) и обозначается <latex>G/H</latex>. | + | __Предложение 4.__ Пусть подгруппа <latex>H</latex> [[:glossary:group|нормальна]] в <latex>G</latex>. Тогда множество левых смежных классов группы <latex>G</latex> по подгруппе <latex>H</latex> является группой с операцией <latex>g_1H\cdot g_2H=(g_1\cdot g_2)H</latex>. |
| + | |||
| + | __Определение 6.__ Группа смежных классов группы <latex>G</latex> по нормальной подгруппе <latex>H</latex> называется **факторгруппой**((factor group)) и обозначается <latex>G/H</latex>. | ||
| - | [[:glossary:relation:equivalence#каноническая_проекция|Каноническая проекция]] [[:glossary:set|множества]] <latex> G </latex> на [[:glossary:relation:equivalence#разбиение_множества|фактормножество]] <latex>G/H</latex> в этом случае является [[:glossary:morphism:group|гомоморфизмом групп]]. | + | [[:glossary:relation:equivalence#каноническая_проекция|Каноническая проекция]] [[:glossary:set|множества]] <latex>G</latex> на [[:glossary:relation:equivalence#разбиение_множества|фактормножество]] <latex>G/H</latex> в этом случае является [[:glossary:morphism:group|гомоморфизмом групп]]. |
| __Пример 1.__ Рассмотрим [[glossary:operation:binary:algebraic|аддитивную]] группу [[glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> и ее нормальную((см. [[:glossary:group|предложение 3]])) подгруппу <latex>n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}</latex>. Тогда факторгруппа <latex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</latex> обозначается <latex>\mathbb{Z}_n</latex> и называется **группой классов вычетов**((group of prime residue classes)) по модулю <latex>n</latex>. | __Пример 1.__ Рассмотрим [[glossary:operation:binary:algebraic|аддитивную]] группу [[glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> и ее нормальную((см. [[:glossary:group|предложение 3]])) подгруппу <latex>n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}</latex>. Тогда факторгруппа <latex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</latex> обозначается <latex>\mathbb{Z}_n</latex> и называется **группой классов вычетов**((group of prime residue classes)) по модулю <latex>n</latex>. | ||
