Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:element:semigroup:inverse [16.01.2011 09:43:17] Ладилова Анна |
glossary:element:semigroup:inverse [15.02.2014 12:02:56] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 19: | Строка 19: | ||
| __Пример 2.__ Противоположным элементом для <latex>n</latex> в [[:glossary:group#абелева_группа|абелевой группе]] [[:glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> является <latex>-n</latex>. | __Пример 2.__ Противоположным элементом для <latex>n</latex> в [[:glossary:group#абелева_группа|абелевой группе]] [[:glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> является <latex>-n</latex>. | ||
| - | __Предложение 1.__ Пусть <latex>S</latex> --- полугруппа, в которой существует левая единица <latex>e</latex>. Предположим, что у каждого элемента есть левый обратный. Тогда <latex>e</latex> --- единица и всякий левый обратный является также обратным. В частности <latex>S</latex> --- [[:glossary:group|группа]]. | + | __Предложение 1.__ Пусть <latex>S</latex> --- полугруппа, в которой существует левая единица <latex>e</latex>. Предположим, что у каждого элемента есть левый обратный. Тогда <latex>e</latex> --- единица и всякий левый обратный является также обратным, то есть <latex>S</latex> --- [[:glossary:group|группа]]. |
| <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | ||
| Для произвольного <latex>x\in S</latex> по условию <latex>ex=x</latex> и для каждого <latex>x\in S</latex> найдется элемент <latex>x'</latex> такой, что <latex>x'\ast x=e</latex>. Для <latex>x'</latex> также найдется элемент <latex>x''</latex>, чтобы <latex>x''\ast x'=e</latex>. Тогда запишем цепочку равенств <WRAP centeralign><latex>x\ast e=e\ast(x\ast e)=(e\ast x)\ast e=((x''\ast x')\ast x)\ast e=(x''\ast(x'\ast x))\ast e=</latex><latex>(x''\ast e)\ast e=x''\ast(e\ast e)=x''\ast e=x''\ast(x'\ast x)=(x''\ast x')\ast x=e\ast x=x</latex>.</WRAP> | Для произвольного <latex>x\in S</latex> по условию <latex>ex=x</latex> и для каждого <latex>x\in S</latex> найдется элемент <latex>x'</latex> такой, что <latex>x'\ast x=e</latex>. Для <latex>x'</latex> также найдется элемент <latex>x''</latex>, чтобы <latex>x''\ast x'=e</latex>. Тогда запишем цепочку равенств <WRAP centeralign><latex>x\ast e=e\ast(x\ast e)=(e\ast x)\ast e=((x''\ast x')\ast x)\ast e=(x''\ast(x'\ast x))\ast e=</latex><latex>(x''\ast e)\ast e=x''\ast(e\ast e)=x''\ast e=x''\ast(x'\ast x)=(x''\ast x')\ast x=e\ast x=x</latex>.</WRAP> | ||
| Строка 36: | Строка 36: | ||
| </hidden> | </hidden> | ||
| ===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
| - | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/101898/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», Физматлит, 2001.]] | + | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]] |
| * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]] | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]] | ||
| {{tag>"абстрактная алгебра" "левый обратный" "правый обратный" "обратимый элемент" "обратный элемент" "моноид" "полугруппа" "противоположный элемент"}} | {{tag>"абстрактная алгебра" "левый обратный" "правый обратный" "обратимый элемент" "обратный элемент" "моноид" "полугруппа" "противоположный элемент"}} | ||
