Терминология [Algebraical.info]

Содержание

Терминология

Терминология

Геометрические пространства

1.1. Определение. Геометрическое пространство $E=(X,\mathcal{O}_X)$ состоит из данного топологического пространства $X$ , наделенного пучком колец $\mathcal{O}_X$ таким, что для всех $x\in X$ слой $\mathcal{O}_{X,x}$ (или просто $\mathcal{O}_x$ ) из $\mathcal{O}_X$ в $x$ является локальным кольцом.

Допуская вольность речи, часто пишут $X$ вместо $E$ . Единственный максимальный идеал в $\mathcal{O}_x$ будет обозначаться через $\mathfrak{m}_x$ , и $k(x)$ будет обозначать поле $\mathcal{O}_x/\mathfrak{m}_x$ . Если $s$ — сечение из $\mathcal{O}_X$ в окрестности $x$ , то канонический образ $s$ в $\mathcal{O}_x$ будет обозначаться $s_x$ и называться ростком $s$ в $x$ ; также значением $s(x)$ для $s$ в $x$ называют канонический образ $s$ в $k(x)$ . Это значение нулевое тогда и только тогда, когда росток $s$ в точке $x$ принадлежит $\mathfrak{m}_x$ .

1.2. Пример. $X$ — топологическое пространство, $\mathcal{O}_X$ — пучок ростков непрерывных комплексных функций. Для всех $x\in X$ слой $\mathcal{O}_x$ — локальное кольцо, и его максимальный идеал — это множество ростков функций, зануляющихся в $x$ .

1.3. Пример. Пусть $(X,\mathcal{O}_X)$ — геометрическое пространство, и $P$ — подмножество $X$ , наделенное индуцированной топологией. Если $i:P\rightarrow X$ — включение, то ограничением $\mathcal{O}_X$ на $P$ называют полный прообраз $i^*(\mathcal{O}_X)$ и обозначают $\mathcal{O}_{X|P}$ ; если $x\in P$ , то $(\mathcal{O}_{X|P})_x=\mathcal{O}_{X,x}$ . Будем говорить, что $(P,\mathcal{O}_{X|P})$ — это геометрическое пространство, индуцированное с $(X,\mathcal{O}_X)$ на подмножество $P$ . Если $P$ открыто в $X$ , то говорят, что $(P,\mathcal{O}_{X|P})$ — открытое подпространство в $(X,\mathcal{O}_X)$ .

Рассмотрим, например, сечение $s$ из $\mathcal{O}_X$ на $X$ . Если $x\in X$ и $s(x)\neq 0$ , то найдется сечение $t$ из $\mathcal{O}_X$ в окрестности $x$ такое, что $s_xt_x=1$ . Отсюда следует, что для всех точек $y$ из некоторой окрестности $x$ выполнено: $s_yt_y=1$ , таким образом, множество $x\in X$ таких, что $s(x)\neq 0$ , открыто. Такое открытое множество будет называться главным открытым и обозначаться $X_s$ .

1.4. Определение. Морфизм геометрических пространств $f:(X,\mathcal{O}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{O}_Y)$ состоит из данного непрерывного отображения $f^e:X\rightarrow Y$ и гомоморфизма пучков колец $f^f$ из $\mathcal{O}_Y$ в прямой образ $f_\ast(\mathcal{O}_X)$ для $\mathcal{O}_X$ . От них требуется, чтобы для всех $x\in X$ гомоморфизм $f_x:\mathcal{O}_{f(x)}\rightarrow\mathcal{O}_x$ , индуцированный $f^f$ , был локальным, то есть, чтобы $f_x(\mathfrak{m}_y)\subset\mathfrak{m}_x$ .

Часто вместо $f^e$ пишут $f$ . Если $U$ открыто в $X$ , и $V$ открыто в $Y$ и содержится в $f(U)$ , то пишут $f^V_U:\mathcal{O}_Y(V)\rightarrow\mathcal{O}_X(U)$ для обозначения гомоморфизма колец, индуцированного $f^f$ .

Композиция морфизмов геометрических пространств определяется очевидным образом. Геометрические пространства и их морфизмы определяют категорию, которую будем обозначать $\textrm{Esg}$ . Морфизм геометрических пространств $f:X\rightarrow Y$ будет называться открытым вложением, если $f$ индуцирует изоморфизм $X$ на открытое подпространство в $Y$ .

1.5. Пример. Если $\mathcal{O}_X$ и $\mathcal{O}_Y$ — пучки ростков непрерывных комплексных функций на $X$ и $Y$ , то всякое непрерывное отображение $f:X\rightarrow Y$ определяет морфизм геометрических пространств: по вышеприведенному замечанию достаточно положить $f^V_U(s)=s\circ f'$ , где $f':U\rightarrow V$ — отображение, индуцированное $f$ .

1.6. Предложение. Если $T$ — категория такая, что $\textrm{Ob}~ T$ и $\textrm{Fl}~T$ принадлежат $V$ , то любой функтор $d:T\rightarrow\textrm{Esg}$ обладает индуктивным пределом.

В самом деле, достаточно доказать существование с одной стороны, прямой суммы семейства геометрических пространств $(X_i,\mathcal{O}_{X_i})_{i\in I}$ и с другой стороны, коядра пары морфизмов
$f,g:(X,\mathcal{O}_X)\rightrightarrows(Y,\mathcal{O}_Y).$
Прямая сумма
$(S,\mathcal{O}_S)=\underset{i\in I}{\coprod}(X_i,\mathcal{O}_{X_i})$
имеет в качестве порождающего пространства топологическую сумму $X_i$ и на нем $\mathcal{O}_{S|X_i}=\mathcal{O}_{X_i}$ . Конструкция коядра $(Z,\mathcal{O}_Z)$ при $(f,g)$ получается следующим образом:

$\quad a)$ $Z$ — коядро непрерывных отображений $f$ и $g$ в категории топологических пространств, полученное отождествлением в $Y$ точек $f(x)$ и $g(x)$ для всех $x\in X$ .

$\quad b)$ если $p:Y\rightarrow Z$ — каноническая проекция, то каждое открытое подмножество $W\subset Z$ определяет два открытых подмножества $V=p^{-1}(W)$ и $U=f^{-1}(V)=g^{-1}(V)$ ; тогда $\mathcal{O}_Z(W)$ — это кольцо, состоящее из таких $s\in\mathcal{O}_Y(V)$ , что $f^V_U(s)=g^V_U(s)$ . Отображения ограничения $\mathcal{O}_Z(W)\rightarrow\mathcal{O}_Z(W')$ индуцированы отображениями ограничения в $\mathcal{O}_Y$ , и каноническая проекция $(Y,\mathcal{O}_Y)\rightarrow(Z,\mathcal{O}_Z)$ определена отображением $p$ и включениями $p^W_V:\mathcal{O}_Z(W)\rightarrow\mathcal{O}_Y(V)$ . Оставшийся тонкий момент проверки состоит в том, чтобы показать, что слои $\mathcal{O}_Z$ — локальные кольца, что делается ниже.

Учитывая вышеприведенные обозначения, пусть $w\in\mathcal{O}_Z(W),~v=p^W_V(W)$ и $u=f^V_U(v)=g^V_U(v)$ ; так как гомоморфизмы $f_x:\mathcal{O}_{f(x)}\rightarrow\mathcal{O}_x$ локальные, имеем $f^{-1}(V_v)=U_u$ (1.3), а также $g^{-1}(V_v)=U_u$ , поэтому $f^{-1}(V_v)=g^{-1}(V_v)$ и $V_v=p^{-1}(W')$ , где $W'$ открыто и содержится в $W$ . Если $z\in W'$ , то росток $w$ в точке $z$ имеет в качестве обратного росток $(v_{|V_v})^{-1}$ ; напротив, если $z\not\in W'$ , то $p^{-1}(z)$ не пересекается с $V_v$ и $v$ зануляется во всех точках $p^{-1}(z)$ . Это показывает две вещи: с одной стороны, если $w,w'\in\mathcal{O}_z(W)$ имеют ростки, необратимые в точке $z$ , то $p^W_V(w)$ и $p^W_V(w')$ обращаются в нуль во всех точках $p^{-1}(z)$ , поэтому $p^W_V(w+w')$ в них также обращаются в нуль и $w+w'$ необратим; откуда $\mathcal{O}_z$ — локальное кольцо. С другой стороны, если $w$ обращается в нуль в $z$ , то $p^W_V(w)$ зануляется в каждой точке $y\in p^{-1}(z)$ , поэтому $p_y:\mathcal{O}_x\rightarrow\mathcal{O}_y$ — локальный гомоморфизм.

1.7. Пример. Положим, что $\mathcal{O}_X$ и $\mathcal{O}_Y$ — пучки ростков непрерывных комплекснозначных функций на $X$ и $Y$ и что морфизмы $f,g$ определяются непрерывными отображениями топологических пространств при помощи композиции.Тогда $\mathcal{O}_Z$ отождествляется с пучком ростков непрерывных комплекснозначных функций на $Z$ .

1.8. Замечание. Можно показать, что если $T$ — такая категория, что $\textrm{Ob}~T$ и $\textrm{Fl}~T\in V$ , то каждый функтор $d:T\rightarrow\textrm{Esg}$ обладает проективным пределом. Мы не будем пользоваться этим результатом.

Простой спектр кольца

2.1. Мы обозначаем через $\mathcal{O}:\textrm{Esg}^{\circ}\rightarrow\textrm{An}$ функтор такой, что $\mathcal{O}(X)=\mathcal{O}_X(X)$ , если $X$ — геометрическое пространство, и $\mathcal{O}(f)=f^Y_X$ (1.4), если $f:X\rightarrow Y$ — морфизм геометрических пространств.

Теорема существования простых спектров. Для любого кольца $A$ существует геометрическое пространство $\textrm{Spec}A$ и гомоморфизм $\varphi_A:A\rightarrow\mathcal{O}(\textrm{Spec}A)$ , удовлетворяющий нижеприведенному условию (*):
(*) Если $X$ — геометрическое пространство и $\varphi:A\rightarrow\mathcal{O}(X)$ — гомоморфизм колец, то существует морфизм $f:X\rightarrow\textrm{Spec}A$ , притом единственный, такой, что $\varphi=\mathcal{O}(f)\varphi_A$ :
$\begin{diagram} \node{A}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\arrow{se,r}{\varphi_A}\node[2]{\mathcal{O}(X)}\\ \node[2]{\mathcal{O}(\textrm{Spec}A).}\arrow{ne,r}{\mathcal{O}(f)} \end{diagram}$

Очевидно, такая пара $(\textrm{Spec}A,\varphi_A)$ «единственная» как решение универсальной задачи. Эта задача универсальности означает, что отображение $f\mapsto\mathcal{O}(f)\varphi_A$ является биекцией: $\textrm{Esg}(X,\textrm{Spec}A)\xrightarrow{\sim}\textrm{An}(A,\mathcal{O}(X))$ . В качестве иллюстрации мы ограничимся описанием пары $(\textrm{Spec}A,\varphi_A)$ и предъявлением обратного отображения для биекции $f\mapsto\mathcal{O}(f)\varphi_A$ :

Описание $(\textrm{Spec}A,\varphi_A)$ : точки $\textrm{Spec}A$ — это простые идеалы в $A$ (Комм. алг. II, §4, nº3). Если $f\in A$ и $p\in\textrm{Spec}A$ , то значением $f$ в $p$ называют канонический образ $f$ в фактор-кольце $A/p$ ; если $a$ — идеал в $A$ , то через $D(a)$ обозначают множество точек $\textrm{Spec}A$ таких, что по крайней мере один элемент $f$ из $a$ не обращается в нуль в этой точке. Эти подмножества $D(a)$ из $\textrm{Spec}A$ являются открытыми в $\textrm{Spec}A$ .

Пусть $S(a)$ — множество таких $s\in A$ , которые не принимают нулевое значение ни в какой точке открытого множества $D(a)$ из $\textrm{Spec}A$ . Таким образом, если $D(a)=D(b)$ , то $S(a)=S(b)$ . Определим предпучок колец $\mathcal{F}$ на $\textrm{Spec}A$ , полагая $\mathcal{F}(D(a))=A[S(a)^{-1}]$ (Комм. алг. II, §2, nº1) и выбирая гомоморфизмы ограничения очевидным образом. Когда $a$ — главный идеал с образующим $s$ и $A_s$ обозначает кольцо частных $A$ , определенное мультипликативным множеством $\{1,s,s^2,s^3,\ldots\}$ , легко проверить, что каноническое отображение $A_s\rightarrow A[S(a)^{-1}]$ биективно. В частности, $\mathcal{F}(\textrm{Spec}A)$ отождествляется с $A$ (полагая $s=1$ ). В качестве структурного пучка $\textrm{Spec}A$ возьмем пучок, ассоциированный с предпучком $\mathcal{F}$ . Слоем этого пучка в точке $p$ является в точности локальное кольцо $A_p=A[(A-p)^{-1}]$ . Наконец, выберем $\varphi_A$ равным каноническому отображению в кольцо сечений ассоциированного пучка.

Осталось предъявить обратное отображение $\varphi\mapsto g$ для отображения $f\mapsto\mathcal{O}(f)\varphi_A$ ; пусть $\varphi:A\rightarrow\mathcal{O}(X)$ — гомоморфизм и $x$ — точка из $X$ . По определению, $g(x)$ будет полным прообразом $m_x$ при композиции отображений:
$A\xrightarrow{\varphi}\mathal{O}_X(X)\xrightarrow{\textrm{can.}}\mathcal{O}_x.$
Очевидно, отображение $g$ непрерывно: если $a$ — идеал в кольце $A$ , то $g^{-1}(D(a))$ — ни что иное, как множество точек из $X$ , в которых по крайней мере один элемент из $\varphi(a)$ не обращается в нуль. Таким образом, композиция отображений
$A\xrightarrow{\varphi}\mathal{O}_X(X)\xrightarrow{\textrm{can.}} \mathcal{O}_X(g^{-1}(D(a)))$
пропускается через $A[S(a)^{-1}]$ , что определяет морфизм $\mathcal{F}\rightarrow g_*(\mathcal{O}_X)$ (предпучка $\mathcal{F}$ в образ $\mathcal{O}_X$ при отображении $g$ ); это и есть искомый морфизм $\mathcal{O}_{\textrm{Spec}A}\rightarrow g_*(\mathcal{O}_X)$ .

2.2. Пример. Пусть $X$ — геометрическое пространство. Если положить $A=\mathcal{O}(X)$ и $\varphi=\textrm{Id}_A$ в 2.1, то мы видим, что существует единственный морфизм $\psi_X:X\rightarrow\textrm{Spec}\mathcal{O}(X)$ такой, что $\mathcal{O}(\psi_X)\varphi_A=\textrm{Id}_A$ . Согласно 2.1, $\psi^e_X$ ставит в соответствие точке $x\in X$ простой идеал в $\mathcal{O}(X)$ , порожденный такими $s$ , что $s(x)=0$ . Морфизм $\psi^f_X:\mathcal{O}_{\textrm{Spec}\mathcal{O}(X)}\rightarrow(\psi^e_X)_* (\mathcal{O}_X)$ строится как в 2.1.

2.3. Определение. Для произвольного кольца $A$ геометрическое пространство $\textrm{Spec}A$ называется простым спектром $A$ .

Разумеется, $\textrm{Spec}A$ «меняется функториально» вместе с $A$ : если $\varphi:A\rightarrow B$ — гомоморфизм колец, то обозначим через $\textrm{Spec}\varphi:\textrm{Spec}B\rightarrow\textrm{Spec}A$ единственный морфизм такой, что $\varphi_B\varphi=\mathcal{O}(\textrm{Spec}\varphi)\varphi_A$ . Этот морфизм задается следующим образом: отображение $(\textrm{Spec}\varphi)^e$ , соответствующее $\textrm{Spec}\varphi$ , отображает $q$ на $\varphi^{-1}(q)$ ; если $a$ — идеал в $A$ , имеем
$((\textrm{Spec}\varphi)^e)^{-1}(D(a))=D(B\varphi(a))$
и композиция морфизмов
$A\xrightarrow{\varphi}B\rightarrow\mathcal{O}_{\textrm{Spec}B}(D(B\varphi(a)))$
пропускается через $A[S(a)^{-1}]$ . Когда $a$ меняется, то также получаем морфизм
$(\textrm{Spec}\varphi)^f:\mathcal{O}_{\textrm{Spec}A}\rightarrow(\textrm{Spec}\varphi) ^e_*(\mathcal{O}_{\textrm{Spec}B}).$

В частности, если $s\in A$ и $\varphi:A\rightarrow A_s$ — каноническое отображение, то $\textrm{Spec}\varphi$ является изоморфизмом $\textrm{Spec}(A_s)$ на открытое подпространство $(\textrm{Spec}A)_s=D(As)$ в $\textrm{Spec}A$ .

2.4. Для любого идеала $a$ из положим $V(a)=(\textrm{Spec}A)-D(a)$ .

Для произвольного множества $P$ из $\textrm{Spec}A$ замыкание $\overline{P}$ для $P$ совпадает с $V(\cap_{p\in P}p)$ . Если $\varphi:A\rightarrow B$ — гомоморфизм и $b$ — идеал в $B$ , то мы имеем, что
$\overline{(\textrm{Spec}\varphi)^e(V(b))}=V(\varphi^{-1}(b)):$
действительно,если $\sqrt{a}$ обозначает корень $a$ (Комм. алг. II, §2, nº6), то
$\overline{(\textrm{Spec}\varphi)^e(V(b))}=V(\underset{p\in V(b)}{\cap}\varphi^{-1}(p))=V(\varphi^{-1}(\underset{p\in V(b)}{\cap}p))=V(\varphi^{-1}(\sqrt{b}))=$
$V(\sqrt{\varphi^{-1}(b)})=V(\varphi^{-1}(b))$
(Комм. алг. II, §4, nº3, corr. 2 в предл. 11).

В частном случае, когда $b=0$ видно, что $V(\varphi^{-1}(0))$ является замыканием образа $\textrm{Spec}B$ . Чтобы $\textrm{Spec}\varphi$ был доминантным (это означает, что образ $(\textrm{Spec}\varphi)^e$ плотен), необходимо и достаточно, чтобы $\varphi^{-1}(0)$ был ниль-идеалом.

2.5. В случае, когда $A$ является кольцом $\mathbb{Z}[T]$ полиномов от одной переменной $T$ , гомоморфизм $\varphi:\mathbb{Z}[T]\rightarrow\mathcal{O}(X)$ определяется элементом $\varphi(T)$ , который может быть выбран в $\mathcal{O}(X)$ произвольным образом. Следовательно, $\textrm{An}(\mathbb{Z}[T],\mathcal{O}(X))$ отождествляется с $\mathcal{O}(X)$ . Применяя формулу присоединения
$\textrm{Esg}(X,\textrm{Spec}\mathbb{Z}[T])\xrightarrow{\sim}\textrm{An}(\mathbb{Z}[T], \mathcal{O}(X)),$
установленную выше, видно, что можно отождествить $\mathcal{O}(X)$ с множеством морфизмов из $X$ в $\textrm{Spec}\mathbb{Z}[T]$ . Это оправдывает следующее определение:

Определение: Если $X$ — геометрическое пространство, то морфизм
$\varphi:X\rightarrow\textrm{Spec}\mathbb{Z}[T]$
называется функцией на $X$ ; кольцо $\mathcal{O}(X)$ называется кольцом функций на $X$ .

2.6. Предложение. Для произвольного кольца $A$ гомоморфизм $\varphi_A:A\rightarrow\mathcal{O}(\textrm{Spec}A)$ из 2.1 является изоморфизмом.

Положим $X=\textrm{Spec}A$ . В первую очередь мы покажем, что предпучок $\mathcal{F}$ из 2.1 принимает те же значения, что и ассоциированный пучок $\mathcal{O}_{\textrm{Spec}A}$ на главных открытых множествах $X_f=D(Af),~f\in A$ . Так как $X_f\cap X_g=X_{fg}$ , если $f,g\in A$ , то, очевидно, достаточно показать, что когда $X_f$ покрыто $X_{f_1},\ldots,X_{f_n}$ , мы имеем точную последовательность
$\mathcal{F}(X_f)\xrightarrow{u}\underset{i}{\prod}\mathcal{F}(X_{f_i}) \underset{w}{\overset{v} {\rightrightarrows}}\underset{i,j}{\prod}\mathcal{F}(X_{f_if_j}),$
где $u,v,w$ таковы, что $u(a)=(a_i),v((b_i))=(b_{ij})$ и $w((b_i))=(c_{ij})$ ; $a_i,b_{ij}$ и $c_{ij}$ соответственно обозначают ограничения $a,b_i$ и $b_j$ на $X_{f_i},X_{f_if_j}$ и $X_{f_if_j}$ . Так как мы имеем $X_{f_i}=X_f\cap X_{f_i}=X_{ff_i}$ и $\mathcal{F}(X_f)=A_f$ , то речь идет лишь о том, чтобы доказать точность последовательности
$A_f\xrightarrow{u}\underset{i}{\prod}A_{ff_i}\underset{w} {\overset{v}{\rightrightarrows}}\underset{i,j}{\prod}A_{ff_if_j}.$

Для этого положим $C=A_f,B=\prod_iA_{ff_i}$ . Тогда $B$ вполне плоский над $C$ (Комм. алг. II, §3, предл. 15 и сл.) и $\prod_{i,j}A_{ff_if_j}$ отождествляется с
$(\underset{i,j}{\prod}A_{ff_i}\otimes_CA_{ff_j})\xrightarrow{\sim}B\otimes_CB,$
$v$ и $w$ отождествлены с отображениями $b\mapsto b\otimes1$ и $b\mapsto 1\otimes b$ . Точность следует из леммы 2.7, если положить $M=C=A_f$ .

2.7. Лемма: Пусть $C$ — кольцо, $M$ — $C$ -модуль и $B$ — вполне плоская $C$ -алгебра. Последовательность $C$ -модулей
$0\rightarrow M\xrightarrow{\partial_0}M\otimes_CB\xrightarrow{\partial_1}M\otimes_CB\otimes_CB \xrightarrow{\partial_2}M\otimes_CB\otimes_CB\otimes_CB\xrightarrow{\partial_2}\ldots,$
где $\partial_0(m)=m\otimes1$ и
$\partial_n(m\otimes b_1\otimes\ldots\otimes b_j)=\underset{i=0}{\overset{i=n}{\sum}}(-1)^im\otimes b_1\otimes\ldots\otimes b_{n-i}\otimes1\otimes_{b-i+1}\otimes\ldots\otimes b_n,$
если $n>0$ , точна.

На самом деле, если $B$ вполне плоский над $C$ , то достаточно показать, что последовательность
$0\rightarrow M\otimes_CB\xrightarrow{\partial_0\otimes_CB}M\otimes_CB\otimes_CB\xrightarrow{\partial_1 \otimes_CB}M\otimes_CB\otimes_CB\otimes_CB\xrightarrow{\partial_2\otimes_CB}\ldots$
точна. Но, если положить
$s_n(m\otimes b_0\otimes\ldots\otimes b_{n+1})=m\otimes b_0\otimes\ldots\otimes b_{n-1}\otimes b_nb_{n+1}$
( $n\geqslant0$ ), то имеем
$s_0(\partial_0\otimes_CB)=\textrm{Id}$ и $(\partial_n\otimes_CB)s_n+s_{n+1}(\partial_{n+1}\otimes_CB)=\textrm{Id}$ .

2.8. Следствие: Функтор $A\rightarrow\textrm{Spec}A$ вполне точный.

Действительно, в теореме 2.1 положим $X=\textrm{Spec}B$ . Отображение
$\textrm{An}(A,B)\rightarrow\textrm{Esg}(\textrm{Spec}B,\textrm{Spec}A)$
является композицией
$\textrm{An}(A,\varphi_B):\textrm{An}(A,B)\rightarrow\textrm{An}(A,\mathcal{O} (\textrm{Spec}B))$
и биекции
$\textrm{An}(A,\mathcal{O}(X))\xrightarrow{\sim}\textrm{Esg}(X,\textrm{Spec}A)$
из 2.1. Следовательно, это биекция.

2.9. Определение: Говорят, что геометрическое пространство $X$ является простым спектром, если морфизм $\psi_X:X\rightarrow\textrm{Spec}\mathcal{O}(X)$ из 2.2 — изоморфизм. Говорят, что $X$ является спектральным пространством, если $X$ допускает открытое покрытие простыми спектрами.

Когда $X=\textrm{Spec}A$ , то из 2.1, 2.2 и 2.6 следует, что $\psi_X=(\textrm{Spec}A)^{-1}$ , поэтому $X$ — простой спектр. Поскольку главные открытые множества $\textrm{Spec}A$ являются простыми спектрами (2.3) и образуют базу из открытых множеств в $\textrm{Spec}A$ , то видно, что любое спектральное пространство допускает открытую базу из простых спектров. Отсюда следует, что любое открытое подпространство спектрального пространства является спектральным пространством.

2.10. Напомним, что топологическое пространство $X$ называется неприводимым, если оно не пусто и любое конечное пересечение открытых непустых множеств в $X$ не пусто. Например, для произвольного топологического пространства $X$ и любой точки $x\in X$ ее замыкание $\overline{\{x\}}$ в $X$ является замкнутым неприводимым подмножеством в $X$ .

Предложение: Если $X$ — спектральное пространство, то отображение $x\mapsto\overline{\{x\}}$ является биекцией из $X$ на множество неприводимых замкнутых подмножеств в $X$ .

Действительно, когда $X$ — простой спектр, предложение следует из Комм. алг., II, §4, nº3, сл.2 в пр.14. Общий случай непосредственно следует из этого частного случая.

Если $F$ — неприводимое замкнутое подмножество в $X$ и $x$ — единственная точка такая, что $F=\overline{\{x\}}$ , то будем говорить, что $x$ — порождающая точка для $F$ .

2.11. Пример: Для любого семейства $(S_i)_{i\in E}$ экземпляров $\textrm{Spec}\mathbb{Z}$ обозначим через $E'_{\mathbb{Z}}$ прямую сумму $\coprod_{i\in E}S_i$ . Любому геометрическому пространству $X$ и любому морфизму
$f:X\rightarrow\underset{i\in E}{\coprod}S_i$
соответствует отображение $g:X\rightarrow E$ такое, что $g(x)=i$ , если $x\in X$ и $f(x)\in S_i$ . Отображение $g$ локально постоянно, то есть непрерывно, когда мы наделяем $E$ дискретной топологией. Если $X_i=g^{-1}(i)$ , то канонический изоморфизм $\textrm{Esg}(X_i,\textrm{Spec}\mathbb{Z})\xrightarrow{\sim}\textrm{An} (\mathbb{Z},\mathcal{O}(X_i))$ (2.1) показывает, что индуцированный морфизм $f_i:X_i\rightarrow S_i$ определяется заданием $i$ и $X_i$ ; поэтому отображение $f\mapsto g$ является биекцией $\textrm{Esg}(X,E'_{\mathbb{Z}})\xrightarrow{\sim}\textrm{Top}(X,E)$ .

Будем говорить, что спектральное пространство $X$ постоянно, если существует множество $E$ и изоморфизм $X\xrightarrow{\sim}E'_{\mathbb{Z}}$ .

2.12. Пример: Пусть $k$ — поле и $X$ — булево пространство, то есть топологическое пространство, наделенное открытой базой, состоящей из открытых компактов. Пусть в $\mathcal{O}_X$ каждому открытому множеству $U$ из $X$ соответствует кольцо локально постоянных функций на $U$ со значениями в $k$ . Тогда для любого $x\in X$ имеем: $\mathcal{O}_x=k$ ; для каждого открытого компакта $U$ в $X$ морфизм $\Psi_U:U\rightarrow\textrm{Spec}\mathcal{O}(U)$ из 2.2 обратим (Stone). Как следствие, $X'_k=(X,\mathcal{O}_X)$ является спектральным пространством.

2.13. Замечание: Теорема и замечания к 2.1 означают, что функтор $\textrm{Spec}:\textrm{An}^{\circ}\rightarrow\textrm{Esg}$ является присоединенным справа к $\mathcal{O}^{\circ}:\textrm{Esg}\rightarrow\textrm{An}^{\circ}$ . Поэтому он преобразует индуктивные пределы колец в проективные пределы геометрических пространств. В частности, для любой диаграммы колец вида $B\xleftarrow{\varphi}A\xrightarrow{\psi}C$ , канонический морфизм $\textrm{Spec}B\otimes_AC\rightarrow\textrm{Spec}B\times_{\textrm{Spec}A} \textrm{Spec}C$ компонент $\textrm{Spec}(in_1)$ и $\textrm{Spec}(in_2)$ обратим.

Z-функторы

3.1. Определение: $\mathbb{Z}$ -функтором называется любой функтор из $\textrm{M}$ в $\textrm{E}$ . Категория $\mathbb{Z}$ -функторов обозначается через $\textrm{ME}$ .

3.2. Соглашения в обозначениях: Если $\varphi:R\rightarrow S$ — стрелка из $\textrm{M}$ , если $\mathfrak{X}\in\textrm{ME}$ и $x\in\mathfrak{X}(R)$ , то мы обозначаем через $\varphi(x)$ , $x_S$ или даже просто через $x$ образ $x$ при отображении $\mathfrak{X}(\varphi):\mathfrak{X}(R)\rightarrow\mathfrak{X}(S)$ .