1. Скрученные формы, деформации, жесткость
1.1. Для данной схемы будем рассматривать пучки
-алгебр Ли
с тем свойством, что
локально свободна ранга
как
-модуль. Такая
может быть рассмотрена как непрерывное семейство
-мерных алгебр Ли, параметризованных
. Когда
аффинно, то пучок
ассоциирован с
-алгеброй Ли проективного ранга
как
-модуль. Мы интересуемся поведением непрерывного семейства алгебр Ли около некоторой точки параметрического пространства. Поэтому мы в основном будем считать, что
аффинно и
— свободный
-модуль. Однако, геометрический язык все еще более удобен.
Для данного , описанного выше, и морфизма
мы можем изменить базу, чтобы получить непрерывное семейство
-мерных алгебр Ли
, параметризованных
. Если
—
-алгебра Ли и
— морфизм структур, обозначим
через
. Мы используем французскую аббревиатуру
fppf
для обозначения термина «точный, плоский, конечно представимый». Мы называем
-формой
, если существует
fppf
-морфизм такой, что
как
-алгебры Ли. В частности,
является тривиальной
-формой
.
Напомним, что точка рациональна, если ее поле вычетов совпадает с
. Рациональные точки находятся во взаимно однозначном соответствии с
-точками. Пусть
обозначает соответствующий морфизм. Предположим, что
является
-алгеброй Ли размерности
. Под
-деформацией
в рациональной точке
мы будем понимать пару
, состоящую из непрерывного семейства
-мерных алгебр Ли, параметризованных
и изоморфизма
-алгебр
. В частности, пара
, где
является каноническим изоморфизмом
, доставляемого посредством
, называется тривиальной деформацией
. Две
-деформации
и
назваются эквивалентными, если существует изоморфизм
-алгебр Ли
такой, что следующая диаграмма коммутативна
Пусть . Если
— алгебра формальных степенных рядов, то
-деформация называется формальной аналитической. Обозначим через
алгебру двойных чисел
. Если
, то
-деформация называется инфинитезимальной. Хорошо известно, что классы эквивалентности инфинитезимальных деформаций взаимно-однозначно соответствуют элементам второй группы когомологий
. Процесс интегрирования данной инфинитезимальной деформации до формальной аналитической приводит к деформациям над алгебрами срезанных многочленов
. Если для некоторого
задана такая деформация, то возможность ее поднятия до деформации над
зависит от обращения в нуль некоторого препятствия, которое является элементом третьей группы когомологий
[6],[9]. Пусть
обозначает первое препятствие (возникающее при
) к интегрированию инфинитезимальной деформации, классом эквивалентности которой является
. Если
представлен 2-коциклом
, то
представлен 3-коциклом
, где
. Рассматривая деформации, мы не ограничиваемся случаем полного локального кольца
(как это делается в [5]).
Пусть — алгебраическое замыкание
. Алгебра Ли
называется аналитически жесткой над
, если любая ее формальная аналитическая деформация тривиальна, и аналитически жесткой, если
аналитически жесткая над
. Мы называем
геометрически жесткой, если для любой схемы
, рациональной точки
и
-деформации
алгебры
в точке
существует открытая окрестность
точки
из
такая, что для любой
-точки
-алгебра Ли
изоморфна
(когда
, все алгебры Ли непрерывного семейства вблизи
изоморфны друг другу).
1.2. Теперь введем схему структур алгебры Ли. Пусть — фиксированное векторное пространство над полем
размерности
. Для
-алгебры
обозначим через
множество всех
-алгебр Ли, основнй
-модуль которых совпадает с
. Если
— гомоморфизм алгебр, то операция расширения скаляров доставляет отображение
. Поэтому
является
-функтором. В действительности он представим конечнопорожденной
-алгеброй. Если мы выбрали базис на
, то структура
-алгебры Ли на
определяется множеством структурных констант. Рассматривая эти константы как неопределенные переменные, мы можем построить идеал в полиномиальной алгебре, порожденный многочленами, удовлетворяющими свойству кососимметричности и тождеству Якоби. Фактор-алгебра по этому является искомой. Поэтому
является аффинной алгебраической схемой, которая изоморфна схеме структурных констант алгебры Ли [9], [15]. Если
— произвольная схема, то
-точки
можно отождествить со структурами
-алгебр Ли на
-модуле
. Для каждой алгебры
группа
естественно действует на
так, что если
и
умножение на
, то
— алгебра Ли, умножение
которой задается правилом
для
. Это задает действие полной линейной групповой схемы
на схеме
. Две
-точки
представляют изоморфные алгебры Ли тогда и только тогда, когда они сопряжены над
.
Далее предположим, что — фиксированная
-алгебра Ли с основным векторным пространством
. Рассмотрим орбитный морфизм
, определяемый
. Стабилизатор
в
совпадает с групповой схемой автоморфизмов
,
-точки которой являются автоморфизмами
-алгебры Ли
. Образ
при отображении
— локально замкнутое подмножество
. Наделенный структурой редуцированной подсхемы, он называется орбитой
[2, II, §5, 3.1, 3.3]. Так как схема
редуцирована, то
раскладывается, согласно [2, III, §3, 5.2]:
Пусть