1.1. Для данной схемы будем рассматривать пучки -алгебр Ли с тем свойством, что локально свободна ранга как -модуль. Такая может быть рассмотрена как непрерывное семейство -мерных алгебр Ли, параметризованных . Когда аффинно, то пучок ассоциирован с -алгеброй Ли проективного ранга как -модуль. Мы интересуемся поведением непрерывного семейства алгебр Ли около некоторой точки параметрического пространства. Поэтому мы в основном будем считать, что аффинно и — свободный -модуль. Однако, геометрический язык все еще более удобен.

Для данного , описанного выше, и морфизма мы можем изменить базу, чтобы получить непрерывное семейство -мерных алгебр Ли , параметризованных . Если — -алгебра Ли и — морфизм структур, обозначим через . Мы используем французскую аббревиатуру fppf для обозначения термина «точный, плоский, конечно представимый». Мы называем -формой , если существует fppf-морфизм такой, что как -алгебры Ли. В частности, является тривиальной -формой .

Напомним, что точка рациональна, если ее поле вычетов совпадает с . Рациональные точки находятся во взаимно однозначном соответствии с -точками. Пусть обозначает соответствующий морфизм. Предположим, что является -алгеброй Ли размерности . Под -деформацией в рациональной точке мы будем понимать пару , состоящую из непрерывного семейства -мерных алгебр Ли, параметризованных и изоморфизма -алгебр . В частности, пара , где является каноническим изоморфизмом , доставляемого посредством , называется тривиальной деформацией . Две -деформации и назваются эквивалентными, если существует изоморфизм -алгебр Ли такой, что следующая диаграмма коммутативна

Пусть . Если — алгебра формальных степенных рядов, то -деформация называется формальной аналитической. Обозначим через алгебру двойных чисел . Если , то -деформация называется инфинитезимальной. Хорошо известно, что классы эквивалентности инфинитезимальных деформаций взаимно-однозначно соответствуют элементам второй группы когомологий . Процесс интегрирования данной инфинитезимальной деформации до формальной аналитической приводит к деформациям над алгебрами срезанных многочленов . Если для некоторого задана такая деформация, то возможность ее поднятия до деформации над зависит от обращения в нуль некоторого препятствия, которое является элементом третьей группы когомологий [6],[9]. Пусть обозначает первое препятствие (возникающее при ) к интегрированию инфинитезимальной деформации, классом эквивалентности которой является . Если представлен 2-коциклом , то представлен 3-коциклом , где . Рассматривая деформации, мы не ограничиваемся случаем полного локального кольца (как это делается в [5]).

Пусть — алгебраическое замыкание . Алгебра Ли называется аналитически жесткой над , если любая ее формальная аналитическая деформация тривиальна, и аналитически жесткой, если аналитически жесткая над . Мы называем геометрически жесткой, если для любой схемы , рациональной точки и -деформации алгебры в точке существует открытая окрестность точки из такая, что для любой -точки -алгебра Ли изоморфна (когда , все алгебры Ли непрерывного семейства вблизи изоморфны друг другу).

1.2. Теперь введем схему структур алгебры Ли. Пусть — фиксированное векторное пространство над полем размерности . Для -алгебры обозначим через множество всех -алгебр Ли, основнй -модуль которых совпадает с . Если — гомоморфизм алгебр, то операция расширения скаляров доставляет отображение . Поэтому является -функтором. В действительности он представим конечнопорожденной -алгеброй. Если мы выбрали базис на , то структура -алгебры Ли на определяется множеством структурных констант. Рассматривая эти константы как неопределенные переменные, мы можем построить идеал в полиномиальной алгебре, порожденный многочленами, удовлетворяющими свойству кососимметричности и тождеству Якоби. Фактор-алгебра по этому является искомой. Поэтому является аффинной алгебраической схемой, которая изоморфна схеме структурных констант алгебры Ли [9], [15]. Если — произвольная схема, то -точки можно отождествить со структурами -алгебр Ли на -модуле . Для каждой алгебры группа естественно действует на так, что если и умножение на , то — алгебра Ли, умножение которой задается правилом для . Это задает действие полной линейной групповой схемы на схеме . Две -точки представляют изоморфные алгебры Ли тогда и только тогда, когда они сопряжены над .

Далее предположим, что — фиксированная -алгебра Ли с основным векторным пространством . Рассмотрим орбитный морфизм , определяемый . Стабилизатор в совпадает с групповой схемой автоморфизмов , -точки которой являются автоморфизмами -алгебры Ли . Образ при отображении — локально замкнутое подмножество . Наделенный структурой редуцированной подсхемы, он называется орбитой [2, II, §5, 3.1, 3.3]. Так как схема редуцирована, то раскладывается, согласно [2, III, §3, 5.2]:

Пусть