1. Скрученные формы, деформации, жесткость

1.1. Для данной схемы $X$ будем рассматривать пучки $\mathscr{O}_X$-алгебр Ли $\mathscr{L}$ с тем свойством, что $\mathscr{L}$ локально свободна ранга $N$ как $\mathscr{O}_X$-модуль. Такая $\mathscr{L}$ может быть рассмотрена как непрерывное семейство $N$-мерных алгебр Ли, параметризованных $X$. Когда $X=\textrm{Spec}~R$ аффинно, то пучок $\mathcal{L}$ ассоциирован с $ R $-алгеброй Ли проективного ранга $ N $ как $ R $-модуль. Мы интересуемся поведением непрерывного семейства алгебр Ли около некоторой точки параметрического пространства. Поэтому мы в основном будем считать, что $ X $ аффинно и $\mathcal{L}$ — свободный $\mathcal{O}_X$-модуль. Однако, геометрический язык все еще более удобен.

Для данного $\mathcal{L}$, описанного выше, и морфизма $f:Y\rightarrow X$ мы можем изменить базу, чтобы получить непрерывное семейство $ N $-мерных алгебр Ли $f^*\mathcal{L}$, параметризованных $ Y $. Если $ L $$ k $-алгебра Ли и $\pi:X\rightarrow\textrm{Spec}~k$ — морфизм структур, обозначим $\pi^*L$ через $\mathcal{O}_X\otimes L$. Мы используем французскую аббревиатуру fppf для обозначения термина «точный, плоский, конечно представимый». Мы называем $\mathcal{L}$ $ X $-формой $ L $, если существует fppf-морфизм $f:Y\rightarrow X$ такой, что $f^*\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_Y\otimes L$ как $\mathcal{O}_Y$-алгебры Ли. В частности, $\mathcal{O}_X\otimes L$ является тривиальной $ X $-формой $ L $.

Напомним, что точка $x\in X$ рациональна, если ее поле вычетов совпадает с $ k $. Рациональные точки находятся во взаимно однозначном соответствии с $ k $-точками. Пусть $i_x:\textrm{Spec}~k\rightarrow X$ обозначает соответствующий морфизм. Предположим, что $ L $ является $ k $-алгеброй Ли размерности $ N $. Под $ X $-деформацией $ L $ в рациональной точке $ x $ мы будем понимать пару $(\mathcal{L},\alpha)$, состоящую из непрерывного семейства $ N $-мерных алгебр Ли, параметризованных $ X $ и изоморфизма $ k $-алгебр $\alpha:L\rightarrow i^*_x\mathcal{L}$. В частности, пара $(\mathcal{O}_X\otimes L,\alpha)$, где $\alpha$ является каноническим изоморфизмом $L\cong(\pi i_x)^*\cong\i_x^*\pi^*L$, доставляемого посредством $\pi i_x=\textrm{id}$, называется тривиальной деформацией $ L $. Две $ X $-деформации $\mathcal{L},\alpha$ и $\mathcal{L}',\alpha'$ назваются эквивалентными, если существует изоморфизм $\mathcal{O}_X$-алгебр Ли $\theta:\mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}'$ такой, что следующая диаграмма коммутативна
$
\begin{diagram}
\node[2]{L}\arrow{se}\arrow{sw,l}{\alpha}\\
\node{i^*_x\mathcal{L}}\arrow[2]{e,r}{i^*_x\theta}\node[2]{i^*_x\mathcal{L}}
\end{diagram}
$

Пусть $X=\textrm{Spec}~R$. Если $R=k[[t]]$ — алгебра формальных степенных рядов, то $ X $-деформация называется формальной аналитической. Обозначим через $\Lambda$ алгебру двойных чисел $k[\tau],\tau^2=0$. Если $R=\Lambda$, то $ X $-деформация называется инфинитезимальной. Хорошо известно, что классы эквивалентности инфинитезимальных деформаций взаимно-однозначно соответствуют элементам второй группы когомологий $H^2(L,L)$. Процесс интегрирования данной инфинитезимальной деформации до формальной аналитической приводит к деформациям над алгебрами срезанных многочленов $\Lambda_n=k[[t]]/(t^n)$. Если для некоторого $ n $ задана такая деформация, то возможность ее поднятия до деформации над $\Lambda_{n+1}$ зависит от обращения в нуль некоторого препятствия, которое является элементом третьей группы когомологий $H^3(L,L)$ [6],[9]. Пусть $\textrm{Sq}\zeta\in H^3(L,L)$ обозначает первое препятствие (возникающее при $n=2$) к интегрированию инфинитезимальной деформации, классом эквивалентности которой является $\zeta\in H^2(L,L)$. Если $\zeta$ представлен 2-коциклом $\varphi:L\times L\rightarrow L$, то $\textrm{Sq}\zeta$ представлен 3-коциклом $(\varphi\overline{\wedge}\varphi)(a,b,c)=\varphi(\varphi(a,b),c)+\varphi(\varphi(b,c),a) +\varphi(\varphi(c,a),b)$, где $a,b,c\in L$. Рассматривая деформации, мы не ограничиваемся случаем полного локального кольца $ R $ (как это делается в [5]).

Пусть $\overline{k}$ — алгебраическое замыкание $ k $. Алгебра Ли $ L $ называется аналитически жесткой над $ k $, если любая ее формальная аналитическая деформация тривиальна, и аналитически жесткой, если $L_{\overline{k}}$ аналитически жесткая над $\overline{k}$. Мы называем $ L $ геометрически жесткой, если для любой схемы $ X $, рациональной точки $x\in X$ и $ X $-деформации $\mathcal{L}$ алгебры $ L $ в точке $ x $ существует открытая окрестность $ U $ точки $ x $ из $ X $ такая, что для любой $\overline{k}$-точки $i:\textrm{Spec}~\overline{k}\rightarrow U$ $\overline{k}$-алгебра Ли $i^*\mathcal{L}$ изоморфна $L_{\overline{k}}$ (когда $\overline{k}=k$, все алгебры Ли непрерывного семейства вблизи $ L $ изоморфны друг другу).

1.2. Теперь введем схему структур алгебры Ли. Пусть $ V $ — фиксированное векторное пространство над полем $ k $ размерности $ N $. Для $ k $-алгебры $ K $ обозначим через $\textrm{Alg}(V)(K)$ множество всех $ K $-алгебр Ли, основнй $ K $-модуль которых совпадает с $V_K$. Если $K\rightarrow K'$ — гомоморфизм алгебр, то операция расширения скаляров доставляет отображение $\textrm{Alg}(V)(K)\rightarrow\textrm{Alg}(V)(K')$. Поэтому $\textrm{Alg}(V)$ является $ k $-функтором. В действительности он представим конечнопорожденной $ k $-алгеброй. Если мы выбрали базис на $ V $, то структура $ K $-алгебры Ли на $V_K$ определяется множеством структурных констант. Рассматривая эти константы как неопределенные переменные, мы можем построить идеал в полиномиальной алгебре, порожденный многочленами, удовлетворяющими свойству кососимметричности и тождеству Якоби. Фактор-алгебра по этому является искомой. Поэтому $\textrm{Alg}(V)$ является аффинной алгебраической схемой, которая изоморфна схеме структурных констант алгебры Ли [9], [15]. Если $ S $ — произвольная схема, то $ S $-точки $\textrm{Alg}(V)$ можно отождествить со структурами $\mathcal{O}_S$-алгебр Ли на $\mathcal{O}_S$-модуле $\textrm{O}_S\otimes V$. Для каждой алгебры $ K $ группа $\textrm{GL}(V)(K)=\textrm{GL}_K(V_K)$ естественно действует на $\textrm{Alg}(V)(K)$ так, что если $g\in\textrm{GL}(V)(K)$ и $\mu$ умножение на $\mathcal{L}\in\textrm{Alg}(V)(K)$, то $g\mathcal{L}$ — алгебра Ли, умножение $g\mu$ которой задается правилом $g\mu(u,v)=g(\mu(g^{-1}u,g^{-1}v))$ для $u,v\in V_K$. Это задает действие полной линейной групповой схемы $\textrm{GL}(V)$ на схеме $\textrm{Alg}(V)$. Две $ K $-точки $\textrm{Alg}(V)$ представляют изоморфные алгебры Ли тогда и только тогда, когда они сопряжены над $\textrm{GL}(V)(K)$.

Далее предположим, что $L\in\textrm{Alg}(V)(k)$ — фиксированная $ k $-алгебра Ли с основным векторным пространством $ V $. Рассмотрим орбитный морфизм $\rho_L:\textrm{GL}(V)\rightarrow\textrm{Alg}(V)$, определяемый $ L $. Стабилизатор $ L $ в $\textrm{GL}(V)$ совпадает с групповой схемой автоморфизмов $\textrm{Aut}(L)$, $ K $-точки которой являются автоморфизмами $ K $-алгебры Ли $L_K$. Образ $ O $ при отображении $\rho_L$ — локально замкнутое подмножество $\textrm{Alg}(V)$. Наделенный структурой редуцированной подсхемы, он называется орбитой $ L $ [2, II, §5, 3.1, 3.3]. Так как схема $\textrm{GL}(V)$ редуцирована, то $\rho_L$ раскладывается, согласно [2, III, §3, 5.2]:
$\textrm{GL}(V)\rightarrow\textrm{GL}(V)/\textrm{Aut}(L)\cong O\rightarrow\textrm{Alg}(V).$

Пусть

articles/skryabin/gsaroaipc/chapter1.txt · Последние изменения: 16.01.2012 13:54:26 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0