проверено
Определение 1. Пусть — группа, — ее подгруппа. Тогда прямое произведение групп действует на по правилу , где и . Множество называется двойным смежным классом1) по .
Множества образуют разбиение группы . Соответствующее фактормножество обозначается символом .
Определение 2. Пусть — группа, и — ее подгруппы и — подмножество в . Системой Титса2) называется четверка , удовлетворяющая следующим аксиомам:
Пример 1. Пусть — поле. Рассмотрим векторное пространство со стандартным базисом . Пусть группа равна , — подгруппа в , состоящая из матриц с нулями ниже главной диагонали, — подгруппа в , состоящая из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке ровно один элемент отличен от нуля. Группа отождествляется с симметрической группой . Обозначим через элемент из , соответствующий транспозиции . Пусть . Тогда четверка будет системой Титса.
Теорема 1. Имеет место равенство . Соответствие является биективным отображением на множество двойных смежных классов по .