Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия Последняя версия Следующая версия справа и слева | ||
|
glossary:module:induced [16.03.2013 05:53:16] Ладилова Анна |
glossary:module:induced [16.03.2013 06:07:36] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Индуцированный модуль ====== | ====== Индуцированный модуль ====== | ||
| ===== Определение ===== | ===== Определение ===== | ||
| - | Пусть <latex>L</latex> --- [[:glossary:algebra:lie|алгебра Ли]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex>, <latex>H</latex> --- подалгебра в <latex>L</latex>, <latex>W</latex> --- произвольный [[:glossary:algebra:lie:module:left|левый]] <latex>H</latex>[[:glossary:algebra:lie:module:left|-модуль]]. <latex>\mathcal{U}(L)</latex> и <latex>\mathcal{U}(H)</latex> --- [[:glossary:algebra:universal:enveloping|универсальные обертывающие алгебры]] для <latex>L</latex> и <latex>H</latex> соответственно. | + | Пусть <latex>L</latex> --- [[:glossary:algebra:lie|алгебра Ли]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex>, <latex>H</latex> --- [[:glossary:algebra|подалгебра]] в <latex>L</latex>, <latex>W</latex> --- произвольный [[:glossary:algebra:lie:module:left|левый]] <latex>H</latex>[[:glossary:algebra:lie:module:left|-модуль]]. <latex>\mathcal{U}(L)</latex> и <latex>\mathcal{U}(H)</latex> --- [[:glossary:algebra:universal:enveloping|универсальные обертывающие алгебры]] для <latex>L</latex> и <latex>H</latex> соответственно. |
| __Определение 1.__ [[:glossary:module:product:tensor#тензорное_произведение_модулей_над_ассоциативным_кольцом|Тензорное произведение]](( Оно определено, так как <latex>\mathcal{U}(L)</latex> можно рассматривать как [[:glossary:module#правый_модуль|правый ]]<latex>\mathcal{U}(H)</latex>[[:glossary:module#правый_модуль|-модуль]].)) <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> называется <latex>L</latex>-**модулем, индуцированным** <latex>H</latex>-**модулем** <latex>W</latex>((induced module)) и обозначается символом <latex>\textrm{ind}_H(W,L)</latex>. Индуцированный модуль <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> наделен структурой <latex>\mathcal{U}(L)</latex>-модуля по правилу: <WRAP centeralign><latex>u\cdot(x\otimes w)=ux\otimes w</latex>, где <latex>u,x\in\mathcal{U}(L)</latex> и <latex>w\in W</latex>.</WRAP> | __Определение 1.__ [[:glossary:module:product:tensor#тензорное_произведение_модулей_над_ассоциативным_кольцом|Тензорное произведение]](( Оно определено, так как <latex>\mathcal{U}(L)</latex> можно рассматривать как [[:glossary:module#правый_модуль|правый ]]<latex>\mathcal{U}(H)</latex>[[:glossary:module#правый_модуль|-модуль]].)) <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> называется <latex>L</latex>-**модулем, индуцированным** <latex>H</latex>-**модулем** <latex>W</latex>((induced module)) и обозначается символом <latex>\textrm{ind}_H(W,L)</latex>. Индуцированный модуль <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> наделен структурой <latex>\mathcal{U}(L)</latex>-модуля по правилу: <WRAP centeralign><latex>u\cdot(x\otimes w)=ux\otimes w</latex>, где <latex>u,x\in\mathcal{U}(L)</latex> и <latex>w\in W</latex>.</WRAP> | ||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
| <WRAP centeralign><latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}(W/W')</latex> изоморфен фактормодулю <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W/\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W'</latex>.</WRAP> | <WRAP centeralign><latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}(W/W')</latex> изоморфен фактормодулю <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W/\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W'</latex>.</WRAP> | ||
| - | __Предложение 3.__ Пусть <latex>H</latex> --- подалгебра алгебры Ли <latex>L</latex>((над полем <latex>F</latex>)), и <latex>\{l_1,\ldots,l_k, l_{k+1},\ldots,l_n\}</latex> --- [[:glossary:space:linear:basis|базис]] в <latex>L</latex> такой, что элементы <latex>l_{k+1},\ldots,l_n</latex> образуют базис <latex>H</latex>, а <latex>l_1,\ldots,l_k</latex>, соответственно, образуют базис [[:glossary:space:linear:sum|дополнительного пространства]] к <latex>H</latex>. Тогда для левого <latex>H</latex>-модуля <latex>W</latex> справедливо свойство | + | __Предложение 3.__ Пусть <latex>H</latex> --- подалгебра [[:glossary:algebra|конечномерной]] алгебры Ли <latex>L</latex>((над полем <latex>F</latex>)), и <latex>\{l_1,\ldots,l_k, l_{k+1},\ldots,l_n\}</latex> --- [[:glossary:space:linear:basis|базис]] в <latex>L</latex> такой, что элементы <latex>l_{k+1},\ldots,l_n</latex> образуют базис <latex>H</latex>, а <latex>l_1,\ldots,l_k</latex>, соответственно, образуют базис [[:glossary:space:linear:sum|дополнительного пространства]] к <latex>H</latex>. Тогда для левого <latex>H</latex>-модуля <latex>W</latex> справедливо свойство |
| <WRAP centeralign><latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> --- это [[:glossary:space:linear:sum|прямая сумма]] <latex>\bigoplus_{(m_1,\ldots,m_k)\in\mathbb{N}^k}l_1^{m_1}\ldots l_k^{m_k}\otimes W</latex>.</WRAP> | <WRAP centeralign><latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> --- это [[:glossary:space:linear:sum|прямая сумма]] <latex>\bigoplus_{(m_1,\ldots,m_k)\in\mathbb{N}^k}l_1^{m_1}\ldots l_k^{m_k}\otimes W</latex>.</WRAP> | ||
| ===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
