Пусть — ассоциативное кольцо с единицей.
Определение 1. Модуль1) над кольцом называется инъективным2), если для любого гомоморфизма -модулей и любого инъективного гомоморфизма -модулей существует гомоморфизм -модулей такой, что , то есть коммутативна диаграмма
Предложение 1. Прямое произведение модулей инъективно тогда и только тогда, когда инъективен каждый сомножитель.
Предложение 2. Левый модуль инъективен тогда и только тогда, когда для каждого левого идеала кольца и гомоморфизма левых -модулей существует такой элемент , что для любого .
Предложение 2'. Правый модуль инъективен тогда и только тогда, когда для каждого правого идеала кольца и гомоморфизма правых -модулей существует такой элемент , что для любого .
Предложение 3. Для любого модуля существует точная последовательность с инъективным модулем .
Предложение 4. Модуль инъективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность -модулей расщепляема.