Определение 1. Пусть — произвольное множество, — функция, удовлетворяющая следующим условиям:
Тогда пара называется метрическим пространством1), а функция — метрикой2), или функцией расстояния3). Число называется расстоянием4) между точками и .
Определение 2. Открытым шаром5) в метрическом пространстве радиуса с центром в точке называется множество .
Теорема 1. Пусть — произвольное метрическое пространство. Тогда семейство образует базу некоторой топологии на . Эта топология называется метрической6) и обозначается .
Пример 1. Пусть . Тогда функция определяет метрику на . Таким образом, — метрическое пространство, а базу топологии на задает множество открытых шаров .
Определение 3. Топологическое пространство называется метризуемым7), если на нем можно ввести метрику , такую что . В противном случае — не метризуемое8).
Пример 2. Пусть — произвольное множество и . Тогда является метрическим пространством, причем метрическая топология совпадает с дискретной топологией на . Таким образом, — метризуемое топологическое пространство.