проверено. аксиома полной индукции…
Определение 1. Пусть заданы множество и отображение , удовлетворяющие условиям:
Тогда будем говорить, что — натуральный ряд, а — множество натуральных чисел1).
Пример 1. Реализацией натурального ряда может служить множество слов в алфавите из одной буквы с операцией дописывания буквы в конце слова.
Предложение 1. Для каждой пары натуральных чисел существует единственным образом определенное число, называемое суммой и , обозначаемое через и удовлетворяющее условиям
Предложение 2. Операция сложения на множестве натуральных чисел обладает следующими свойствами:
Предложение 3. Для каждой пары натуральных чисел существует единственным образом определенное число, называемое произведением и , обозначаемое через и удовлетворяющее условиям
Предложение 4. Операция умножения на множестве натуральных чисел обладает следующими свойствами:
Пусть определено множество действительных чисел 2).
Определение 2. Назовем множество индуктивным3), если из того, что следует, что .
Определение 3. Множеством натуральных чисел называется наименьшее индуктивное множество, содержащее 1.
Предложение 5. Каждое натуральное число можно представить как сумму конечного числа единиц 1.
Аксиома полной индукции 4) или индуктивность множества 5) позволяет применять
Принцип математической индукции. Предположим, что для каждого натурального имеется некоторое утверждение . Пусть утверждение верно. Предположим также, что для каждого из истинности утверждения можно вывести истинность утверждения . Тогда утверждение истинно для каждого натурального .
Пример 3. С помощью принципа математической индукции можно доказать истинность выражения . Действительно, при имеем верное выражение . Предположим, что верно выражение . Добавив к обеим частям равенства , получим
, откуда следует истинность выражения
. Применив принцип математической индукции, получаем, что верно для любого натурального .