Пусть даны произвольные группы и с единицами и соответственно.
Определение 1. Отображение называется гомоморфизмом групп1), если:
Пример 1. Пусть — группа. Отображение называется тождественным и обозначается символом . Очевидно, что является автоморфизмом группы .
Пример 2. Рассмотрим группу , записываемую мультипликативно, и . Отображение , является гомоморфизмом групп и называется возведением в -ю степень.
Определение 2. Гомоморфизм групп называется мономорфизмом групп2), если отображение инъективно.
Определение 3. Гомоморфизм групп называется эпиморфизмом групп3), если отображение сюръективно.
Пример 3. Пусть — нормальная подгруппа группы . Тогда отображение группы на факторгруппу такое, что , является эпиморфизмом групп и называется канонической проекцией.
Определение 4. Гомоморфизм групп называется изоморфизмом групп4), если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.
Определение 5. Ядро гомоморфизма5) — это множество .
Определение 6. Образ гомоморфизма6) — это множество .
Гомоморфизм групп является морфизмом в категории групп. В частности, понятия мономорфизма, эпиморфизма и изоморфизма можно переформулировать:
Предложение 1. Гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда .
Предложение 2. Гомоморфизм является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда .
Предложение 3. Гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм такой, что и .
Определение 7. Автоморфизмом группы7) называется изоморфизм .
Предложение 4. Пусть — гомоморфизм групп. Тогда
Предложение 5. Ядро гомоморфизма групп является нормальной подгруппой группы .
Предложение 6. Образ гомоморфизма групп является подгруппой группы .
Основная теорема о гомоморфизме. Пусть — гомоморфизм групп с ядром . Через обозначим каноническую проекцию8). Тогда существует единственный гомоморфизм групп , инъективный и такой, что , то есть делающий коммутативной диаграмму
.
Если сюръективно, то — изоморфизм. Гомоморфизм левому смежному классу ставит в соответствие .
Первая теорема об изоморфизме. Пусть и — подгруппы в , и нормальна в . Тогда
Теорема о соответствии. Пусть — эпиморфизм групп с ядром . Тогда существует биекция между множеством подгрупп в , содержащих , и множеством всех подгрупп в . При этом нормальным делителям группы соответствуют нормальные делители группы .
Теорема о сокращении. Пусть и — нормальные подгруппы в группе , причем . Тогда факторгруппа является нормальной подгруппой в и имеет место изоморфизм: .
Пример 4. Идеалы и нормальны в , откуда получаем: , или, что то же самое, .