Пусть — ассоциативное кольцо с единицей.
Определение 1. Модуль1) над кольцом называется проективным2), если для любого гомоморфизма -модулей3) и любого сюръективного гомоморфизма -модулей существует гомоморфизм -модулей такой, что , то есть коммутативна диаграмма
Предложение 1. Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.
Предложение 2. Модуль проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым некоторого свободного модуля.
Предложение 3. Для любого модуля существует точная последовательность с проективным модулем .
Предложение 4. Модуль проективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность модулей расщепляема.