Содержание

Функтор

Определение функтора

Пусть даны категории $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$.

Определение 1. Ковариантный функтор1) $ F $ из категории $\mathcal{A}$ в $\mathcal{B}$ состоит из:

Определение 2. Контравариантный функтор2) $ F $ из категории $\mathcal{A}$ в $\mathcal{B}$ состоит из:

Пример 1. Пусть $\mathfrak{Grp}$ — категория групп, $\mathfrak{Set}$ — категория множеств. Рассмотрим функтор $ F $, который каждой группе $ G $ ставит в соответствие множество ее элементов $F(G)$, а каждому гомоморфизму групп $f:G\rightarrow G'$ сопоставляет то же отображение, рассматриваемое как отображение множеств. Такой функтор называется стирающим3). Вместо категории групп можно рассматривать категории колец, алгебр, моноидов и так далее.

Пример 2. Пусть $\mathcal{A}$ — некоторая категория, $A\in\textrm{Ob}\mathcal{A}$. Тогда отображения $F_A:\textrm{Ob}\mathcal{A}\rightarrow\textrm{Ob}\mathfrak{Set}$ и $F_A(\varphi):\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,C)$, заданные правилом $F_A(B)=\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)$ и $F_A(\varphi)(g)=\varphi\circ g$ для произвольных $A,B,C\in\textrm{Ob}\mathcal{A}$, морфизма $\varphi:B\rightarrow C$ и морфизма $g\in\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)$, задают ковариантный функтор $F_A:\mathcal{A}\rightarrow\mathfrak{Set}$. Этот функтор называется представляющим4).

Естественное преобразование функторов

Определение 3. Пусть даны два функтора $F,G:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$. Естественное преобразование5), или морфизм функторов6) $\tau:F\rightarrow G$ — это функция, которая каждому объекту $A\in\mathcal{A}$ сопоставляет морфизм $\tau(A):F(A)\rightarrow G(A)$ таким образом, что для каждого морфизма $f:A\rightarrow B$ из $\mathcal{A}$ следующая диаграмма коммутативна:
$\begin{diagram} \node{F(A)}\arrow[2]{e,t}{\tau(A)}\arrow[2]{s,l}{F(f)}\node[2]{G(A)}\arrow[2]{s,r}{G(f)}\\ \\ \node{F(B)}\arrow[2]{e,b}{\tau(B)}\node[2]{G(B).} \end{diagram}$
Если для каждого $ A $ компонента $\tau(A)$ обратима в $\mathcal{B}$, то $\tau$ называется естественным изоморфизмом7).

Типы функторов

Определение 4. Функтор $F:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$ называется строгим8), если для любых $A,B\in\textrm{Ob}\mathcal{A}$ отображение $F:\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{B}}(A,B)$ является вложением.

Определение 5. Функтор $F:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$ называется полным9), если для любых $A,B\in\textrm{Ob}\mathcal{A}$ отображение $F:\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{B}}(A,B)$ сюръективно.

См. также

Литература

, , , , , , , ,
1)
covariant functor
2)
contravariant functor
3)
forgetful functor
4)
representing functor
5)
natural transformation
6)
morphism of functors
7)
natural isomorphism
8)
faithful functor
9)
full functor