проверено. неплохо было бы написать про логарифмы
Определение 1. Пусть — векторные пространства над полем . Отображение называется линейным1), если
Пример 1. Нулевое линейное отображение , заданное правилом для всех .
Пример 2. Тождественное линейное отображение задается формулой для всех .
Пример 3. Отображение векторного пространства из примера 4 в одномерное вещественное пространство , является линейным отображением векторных пространств.
Определение 2. Линейное отображение называется изоморфизмом векторных пространств2), если биективно.
Предложение 1. Два конечномерных векторных пространства и над полем изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.
Определение 3. Линейное отображение называется линейным оператором3) на .
Замечание 1. В категорном смысле линейный оператор — это эндоморфизм векторного пространства . Соответственно, множество всех линейных операторов на обозначается символом .
Пример 4. Линейный оператор , определенный правилом: для всех и некоторого фиксированного . Такой оператор называется гомотетией4).
Определение 4. Линейное отображение 5) называется линейной функцией6), или линейным функционалом7), или линейной формой8) на пространстве .
Определение 5. Ядром9) линейного отображения называется множество .
Определение 6. Образом10) линейного отображения называется множество .
Замечание 2. Как следует из определений, , , то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств.
Предложение 2. Ядро и образ линейного отображения являются подпространствами векторных пространств и , соответственно.
Предложение 3. Пусть — конечномерное векторное пространство, и — линейное отображение. Тогда и конечномерны и .
Предложение 4. Пусть — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда .
Следствие 1. Пусть — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение сюръективно тогда и только тогда, когда .
Предложение 5. Множество всех линейных отображений из векторного пространства в векторное пространство является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами:
Замечание 3. Векторное пространство линейных отображений из в обозначается через .