Торы в ограниченной алгебре Ли

Элементы в ограниченной алгебре Ли

Определение 1. Элемент $x\in L$ называется p-полупростым1), если $x\in(Fx^{[p]})_p$.

Определение 2. Элемент $x\in L$ называется тороидальным2), если $x^{[p]}=x$.

Определение 3. Элемент $x\in L$ называется p-нильпотентным3), если существует число $n\in\mathbb{N}$ такое, что $x^{[p]^n}=0$.

Предложение 1. Имеют место следующие утверждения:

  • каждый тороидальный элемент p-полупрост;
  • если $x,y\in L$ p-полупросты и $[x,y]=0$, то элемент $x+y$ p-полупрост.

Теорема 1. Для каждого элемента $x\in L$ существует такое натуральное $ k $, что элемент $x^{[p]^k}$ p-полупрост.

Разложение элементов в алгебре

Теорема 2. Пусть поле $ F $совершенно, и алгебра $(L,[p])$ — конечномерна. Тогда для каждого элемента $x\in L$ существуют единственные элементы $x_n,x_s\in L$ такие, что

  1. $x_n$ p-нильпотентен, $x_s$ p-полупрост;
  2. $x=x_s+x_n$ и $[x_s,x_n]=0$.

Теорема 3. Пусть $(L,[p])$ —конечномерная ограниченная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем $ F $. Тогда

  1. если $ L $ абелева и p-отображение взаимно однозначно, то $ L $ обладает базисом, состоящим из тороидальных элементов;
  2. для любого $x\in L$ найдутся тороидальные элементы $x_1,\ldots,x_r$ и p-нильпотентный элемент $x_n$ такие, что $x=x_n+\sum_{i=1}^r\alpha_ix_i$ и $[x_n,x_i]=[x_i,x_j]=0$.

Торы и подалгебра Картана

Определение 4. Подалгебра $T\subset L$ называется тором4), если

  1. каждый элемент $x\in T$ p-полупрост.

Теорема 4. Пусть $H\subset L$ подалгебра в конечномерной ограниченной алгебре Ли $ L $. Тогда следующие утверждения эквивалентны

  1. существует максимальный5) тор $T\subset L$ такой, что $H=C_L(T)$централизатор $ T $ в $ L $.

Теорема 5. Пусть $(L_1,[p])$ и $(L_2,[p])$ — ограниченные алгебры Ли, и $\varphi:L_1\rightarrow L_2$сюръективный p-гомоморфизм. Тогда

  1. если $T_2$ — максимальный тор в $L_2$, и $T_1$ — максимальный тор в $\varphi^{-1}(T_2)$, то $\varphi(T_1)=T_2$;
  2. если $T_1$ — максимальный тор в $L_1$, то $\varphi(T_1)$ — максимальный тор в $L_2$.

Литература

  • Джекобсон Н. «Алгебры Ли», Мир, 1964.
  • Strade H., Farnsteiner R. «Modular Lie Algebras and their Representations», Marcel Dekker, 1988.
1) semisimple
2) toral
3) p-nilpotent
4) torus
5) по включению
glossary/algebra/lie/restricted/torus.txt · Последние изменения: 04.03.2013 22:00:58 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0