Определение 1. Пусть даны произвольные алгебры и над ассоциативным кольцом . Отображение называется гомоморфизмом алгебр1), если:
В частности, если и — алгебры Ли, то отображение — гомоморфизм алгебр Ли2), если
Пример 1. Рассмотрим алгебру многочленов от одной переменной над полем и зафиксируем скаляр . Отображение , ставящее многочлену его значение в точке , является гомоморфизмом -алгебр.
Определение 2. Ядро3) и образ4) гомоморфизма алгебр — это, соответственно, ядро и образ отображения , рассматриваемого как гомоморфизм модулей, то есть
и
.
Предложение 1. Ядро гомоморфизма алгебр является идеалом алгебры .
Предложение 2. Образ гомоморфизма алгебр является подалгеброй алгебры .