Содержание

Отображение

Отображение

проверено

Определение

Пусть $A$ и $B$ — фиксированные множества.

Определение 1. Бинарное отношение $f \subseteq A \times B$ называют отображением¹⁾, или функцией²⁾ из множества $A$ в множество $B$ и обозначают $f:A \rightarrow B$ , если

для любых $x,y,z$ из условий $(x,y) \in f$ и $(x,z) \in f$ следует, что $y=z$ .

При этом вместо $(x,y)\in f$ обычно пишут $f(x)=y$ . Множество

$\textrm{dom}~f=\{x\in A\vert\exists y\in B:(x,y)\in f\}$

называется областью определения отображения³⁾, а множество $\textrm{cod}~f=B$ — областью значений⁴⁾.

Замечание 1. Как правило, подразумевается, что область значений $\textrm{dom}~f=A$ . Но для этого к определению функции необходимо добавлять еще одно условие

для каждого $x\in A$ найдется такой $y\in B$ , что $(x,y)\in f$ .

Образ и прообраз

Определение 2. Элемент $f(a)$ называется образом элемента $a$ .

Определение 3. Множество

$\textrm{im}~f$ $= \{b\in B\vert(\exists a\in A:f(a)=b)\}=f(A)\subset B$ .

называется образом при отображении $f$ .

Определение 4. Прообразом элемента $b$ называется множество

$f^{-1}(b)=\{a\in A\vert(f(a)=b)\}\subset A$ .

Если $B_0\subset B$ , то

$f^{-1}(B_0) = \{ a \in A \vert (f(a)\in B_0) \}\subset A$ .

Виды отображений

Определение 5. Отображение $\textrm{id}_X\colon X\rightarrow X$ на множестве $X$ , для которого

$\textrm{id}_X(x)=x$ для любого $x\in X$

называют тождественным отображением⁵⁾.

Определение 6. Будем говорить, что отображение $f$ — инъективно⁶⁾, если из $x\neq y$ следует, что $f(x)\neq f(y)$ . Другими словами, отображение $f$ инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента $y\in B$ состоит не более, чем из одного элемента.

Предложение 1. Отображение $f\colon A\rightarrow B$ инъективно тогда и только тогда, когда оно имеет левое обратное⁷⁾, то есть существует $g\colon B\rightarrow A$ такое, что

$g\circ f=\textrm{id}_A$ .

Определение 7. Будем говорить, что $f$ сюръективно⁸⁾, если для каждого $b\in B$ существует элемент $a\in A$ такой, что $f(a)=b$ . Другими словами, $f$ сюръективно тогда и только тогда, когда каждый элемент $b\in B$ имеет непустой прообраз.

Предложение 2. Отображение $f\colon A\rightarrow B$ сюръективно тогда и только тогда, когда оно имеет правое обратное⁹⁾, то есть существует $g\colon B\rightarrow A$ такое, что

$f\circ g=\textrm{id}_B$ .

Определение 8. Будем говорить, что $f$ — биективно¹⁰⁾, или взаимно однозначно¹¹⁾, если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Предложение 3. Отображение $f$ биективно тогда и только тогда, когда оно имеет обратное¹²⁾.

Примеры

Если $B\subset\mathbb{R}$ , то функция называется вещественнозначной¹³⁾.
Числовая последовательность $\{a_n\}$ является отображением из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{R}$ .
$\sin x$ является отображением из $\mathbb{R}$ в $[-1,1]$ .
Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$ , а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$ , тогда если $A=\mathbb{R}_+$ , а $B=\mathbb{R}$ , то отображение $f$ инъективно.
Если в предыдущем примере положить $A=\mathbb{R}$ , то отображение $f$ не будет инъективным.
Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$ , а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$ , тогда если $A=\mathbb{R}$ , а $B=\mathbb{R}_+$ , то отображение $f$ сюръективно.
Если в предыдущем примере положить $B=\mathbb{R}$ , то отображение $f$ не будет сюръективным.
Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$ , а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$ , тогда если $A=B=\mathbb{R}_+$ , то отображение $f$ биективно.
Если в предыдущем примере положить $A=\mathbb{R}$ , то отображение $f$ не будет биективным.

См. также

Композиция отображений

Литература

Гордон Е.И., Полотовский Г.М. «Мощность бесконечных множеств», Издательство ННГУ, 1998.
Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.
Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа», т.1, Высшая школа, 1981.
Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.

теория множеств, биективное отображение, вещественнозначная функция, инъективное отображение, образ при отображении, отображение, прообраз элемента, сюръективное отображение, тождественное отображение, функция

¹⁾

mapping

²⁾

function

³⁾

domain

⁴⁾

codomain

⁵⁾

identity mapping

⁶⁾

injective mapping

⁷⁾

относительно операции — композиции отображений

⁸⁾

surjection

⁹⁾ , ¹²⁾

относительно операции — композиции отображений

¹⁰⁾

bijective mapping

¹¹⁾

biunique, one-for-one, one-one, one-to-one

¹³⁾

real valued function