Торы в ограниченной алгебре Ли

Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли над полем $F$ .

Элементы в ограниченной алгебре Ли

Определение 1. Элемент $x\in L$ называется p-полупростым¹⁾, если $x\in(Fx^{[p]})_p$ .

Определение 2. Элемент $x\in L$ называется тороидальным²⁾, если $x^{[p]}=x$ .

Определение 3. Элемент $x\in L$ называется p-нильпотентным³⁾, если существует число $n\in\mathbb{N}$ такое, что $x^{[p]^n}=0$ .

Предложение 1. Имеют место следующие утверждения:

каждый тороидальный элемент p-полупрост;
если $x,y\in L$ p-полупросты и $[x,y]=0$ , то элемент $x+y$ p-полупрост.

Теорема 1. Для каждого элемента $x\in L$ существует такое натуральное $k$ , что элемент $x^{[p]^k}$ p-полупрост.

Разложение элементов в алгебре

Теорема 2. Пусть поле $F$ — совершенно, и алгебра $(L,[p])$ — конечномерна. Тогда для каждого элемента $x\in L$ существуют единственные элементы $x_n,x_s\in L$ такие, что

$x_n$ p-нильпотентен, $x_s$ p-полупрост;
$x=x_s+x_n$ и $[x_s,x_n]=0$ .

Теорема 3. Пусть $(L,[p])$ —конечномерная ограниченная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем $F$ . Тогда

если $L$ абелева и p-отображение взаимно однозначно, то $L$ обладает базисом, состоящим из тороидальных элементов;
для любого $x\in L$ найдутся тороидальные элементы $x_1,\ldots,x_r$ и p-нильпотентный элемент $x_n$ такие, что $x=x_n+\sum_{i=1}^r\alpha_ix_i$ и $[x_n,x_i]=[x_i,x_j]=0$ .

Торы и подалгебра Картана

Определение 4. Подалгебра $T\subset L$ называется тором⁴⁾, если

$T$ абелева;
каждый элемент $x\in T$ p-полупрост.

Теорема 4. Пусть $H\subset L$ подалгебра в конечномерной ограниченной алгебре Ли $L$ . Тогда следующие утверждения эквивалентны

$H$ — подалгебра Картана;
существует максимальный⁵⁾ тор $T\subset L$ такой, что $H=C_L(T)$ — централизатор $T$ в $L$ .

Теорема 5. Пусть $(L_1,[p])$ и $(L_2,[p])$ — ограниченные алгебры Ли, и $\varphi:L_1\rightarrow L_2$ — сюръективный p-гомоморфизм. Тогда

если $T_2$ — максимальный тор в $L_2$ , и $T_1$ — максимальный тор в $\varphi^{-1}(T_2)$ , то $\varphi(T_1)=T_2$ ;
если $T_1$ — максимальный тор в $L_1$ , то $\varphi(T_1)$ — максимальный тор в $L_2$ .