Содержание
Торы в ограниченной алгебре Ли
Пусть — ограниченная алгебра Ли над полем
.
Элементы в ограниченной алгебре Ли
Определение 1. Элемент называется p-полупростым1), если
.
Определение 2. Элемент называется тороидальным2), если
.
Определение 3. Элемент называется p-нильпотентным3), если существует число
такое, что
.
Предложение 1. Имеют место следующие утверждения:
- каждый тороидальный элемент p-полупрост;
- если
p-полупросты и
, то элемент
p-полупрост.
Теорема 1. Для каждого элемента существует такое натуральное
, что элемент
p-полупрост.
Разложение элементов в алгебре
Теорема 2. Пусть поле — совершенно, и алгебра
— конечномерна. Тогда для каждого элемента
существуют единственные элементы
такие, что
p-нильпотентен,
p-полупрост;
и
.
Теорема 3. Пусть —конечномерная ограниченная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем
. Тогда
- если
абелева и p-отображение взаимно однозначно, то
обладает базисом, состоящим из тороидальных элементов;
- для любого
найдутся тороидальные элементы
и p-нильпотентный элемент
такие, что
и
.
Торы и подалгебра Картана
Определение 4. Подалгебра называется тором4), если
- каждый элемент
p-полупрост.
Теорема 4. Пусть подалгебра в конечномерной ограниченной алгебре Ли
. Тогда следующие утверждения эквивалентны
Теорема 5. Пусть и
— ограниченные алгебры Ли, и
— сюръективный p-гомоморфизм. Тогда
- если
— максимальный тор в
, и
— максимальный тор в
, то
;
- если
— максимальный тор в
, то
— максимальный тор в
.
Литература
- Джекобсон Н. «Алгебры Ли», Мир, 1964.
- Strade H., Farnsteiner R. «Modular Lie Algebras and their Representations», Marcel Dekker, 1988.