Определение 1. Пусть — некоторое непустое множество. Семейство подмножеств называется топологией на множестве 1), а пара называется топологическим пространством2), если удовлетворяет следующим условиям:
Когда топология фиксирована, топологическое пространство обычно обозначается одной буквой .
Определение 2. Пусть — топологическое пространство. Подмножество называется открытым3) в или -открытым, если оно принадлежит . Подмножество называется замкнутым4) в , если его дополнение — открыто в .
Пример 1. Пусть — произвольное множество. Семейство подмножеств определяет топологию на , называемую тривиальной топологией5).
Пример 2. Пусть — произвольное множество. Семейство подмножеств определяет топологию на , называемую дискретной топологией6).
Пример 3. Пусть , , . Семейство подмножеств определяет топологию на , называемую обычной топологией7).
Пример 4. Пусть — произвольное множество и — биекция. Рассмотрим . Тогда — топологическое пространство.
Пример 5. Пусть , тогда семейство подмножеств — топология на , называемая топологией связного двоеточия8).
Определение 3. Пусть и — топологические пространства. Говорят, что топология слабее9), или грубее10) топологии , если . В этом случае также говорят, что сильнее11), или тоньше12) . Если и , то говорят, что топологии и несравнимы13).
Пример 6. Тривиальная топология слабее любой другой топологии на этом же множестве.
Пример 7. Дискретная топология сильнее любой другой топологии на этом же множестве.
Теорема 1. Пусть — топологическое пространство и . Рассмотрим совокупность всех замкнутых множеств . Тогда имеют место следующие свойства:
Теорема 2. Пусть — произвольное множество, — семейство подмножеств из , удовлетворяющих условиям:
Тогда существует единственная топология на множестве , такая что — семейство всех замкнутых множеств в .