Содержание

Мощность множества

проверено

Равномощные множества

Определение 1. Будем говорить, что множество $ A $ равномощно1) множеству $ B $, если существует биективное отображение $A\rightarrow B$.

Предложение 1. Отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности.

Пример 1. Сопоставим каждому натуральному числу $n$ число $2n$, что определяет взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством четных натуральных чисел. То есть множество $\mathbb{N}$ равномощно своему подмножеству четных натуральных чисел.

Определение 2. Класс эквивалентности множества $ A $ называется мощностью2) $ A $ и обозначается через $\vert A\vert$ или $\textrm{card}~A$.

Пример 2. Мощностью любого конечного множества можно считать число его элементов.

Определение 3. Будем говорить, что мощность множества $ A $ меньше либо равна мощности множества $ B $, и писать $|A|\leqslant|B|$, если существует инъективное отображение $A\rightarrow B$.

Теорема (Кантора-Бернштейна). Если для множеств $ A $ и $ B $ имеем $|A|\leqslant|B|$ и $|B|\leqslant|A|$, то $|A|=|B|$.

Определение 4. Если множество $ S $ равномощно множеству натуральных чисел, то $ S $ называется счетным3).

Пример 2. Множество алгебраических чисел счетно.

Литература

, , , ,
1)
equipollent
2)
cardinal number
3)
countable