Определение 1. Кольцом Ли1) будем называть кольцо, в котором операция умножения антикоммутативна и удовлетворяет тождеству Якоби. Иными словами, операции сложения и умножения кольца Ли удовлетворяют следующим аксиомам:
Замечание 1. Из условия следует условие антикоммутативности:
для всех .
Более того, если в абелевой группе кольца нет элементов порядка 2, то условие эквивалентно условию .
Пример 1. Пусть — произвольное ассоциативное кольцо. Зададим на новую операцию умножения , тогда — кольцо Ли.
Пример 2. Алгебра Ли над кольцом является кольцом Ли с дополнительной структурой левого -модуля.
Предложение 1. Для каждого кольца Ли <latex>R</latex> существует такое ассоциативное кольцо <latex>A</latex>, что <latex>R</latex> изоморфно подкольцу <latex>A</latex> с операцией умножения <latex>[,]</latex>, определенной формулой <latex>[a,b]=a\cdot b-b\cdot a</latex>.