Пусть — ассоциативное кольцо и — некоторый его элемент.
Определение 1. Элемент называется лево-квазирегулярным1), если существует такой элемент , что . Элемент называется левым квазиобратным2) для .
Определение 2. Элемент называется право-квазирегулярным3), если существует такой элемент , что . Элемент называется правым квазиобратным4) для .
Предложение 1. Пусть элемент лево-квазирегуляный с левым квазиобратным и право-квазирегулярный с правым квазиобратным . Тогда .
Определение 3. Элемент называется квазирегулярным5), если он одновременно лево-квазирегулярный и право-квазирегулярный. Элемент , совпадающий6) с его левым и правым квазиобратными, называется квазиобратным7) для .
Предложение 2. Пусть кольцо имеет единицу, тогда
Определение 4. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется лево-квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.
Определение 5. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется право-квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.
Определение 6. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.
Предложение 3. Если левый идеал лево-квазирегулярный, то он квазирегулярный.
Предложение 4. Если правый идеал право-квазирегулярный, то он квазирегулярный.