Универсальная p-оболочка

Пусть $L$ — произвольная алгебра Ли над полем $F$.

Определение

Определение 1. Тройка $(G,[p],i)$, состоящая из ограниченной алгебры Ли $(G,[p])$ и гомоморфизма алгебр Ли $i:L\rightarrow G$, называется p-оболочкой1) алгебры $L$, если $i$ инъективно и $i(L)_p=G$.

Пример 1. Пусть $L$ — трехмерная алгебра Ли над полем $F$ с базисом $\{h,x,y\}$ и умножением $[h,x]=x$, $[h,y]=\alpha y$, $[x,y]=0$, где $\alpha\in F$. Если $\alpha^p\neq\alpha$, то $L$ не является ограниченной. В этом случае алгебра $G=L\oplus\langle t\rangle_F$, где $[t,L]=0$, является ограниченной с таким p-отображением, что $x^{[p]}=y^{[p]}=0$, $h^{[p]}=t$ и $(h-t)^{[p]}=(\alpha-\alpha^p)^{p-1}(h-t)$. Тройка $(G,[p],i)$ является p-оболочкой алгебры $L$.

Определение 2. p-оболочка $(G,[p],i)$ называется универсальной2), если для каждой ограниченной алгебры Ли $(H,[p]')$ и каждого гомоморфизма $\varphi:L\rightarrow H$ существует единственный p-гомоморфизм $\psi:(G,[p])\rightarrow(H,[p]')$ такой, что следующая диаграмма коммутативна
$\begin{diagram}\node[2]{L}\arrow[2]{e,t}{i}\arrow[2]{se,b}{\varphi}\node[2]{(G,[p])}\arrow[2]{s,r}{\psi}\\ \\ \node[4]{(H,[p]').}\end{diagram}$

Теорема 1. Каждая алгебра Ли $L$ обладает универсальной p-оболочкой $\hat{L}=(L)_p\subset U(L)$.

Литература

  • Джекобсон Н. «Алгебры Ли», Мир, 1964.
  • Strade H., Farnsteiner R. «Modular Lie Algebras and their Representations», Marcel Dekker, 1988.
1) p-envelope
2) universal
glossary/algebra/lie/restricted/envelope.txt · Последние изменения: 04.01.2013 01:18:36 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0