Универсальная p-оболочка

Пусть $L$ — произвольная алгебра Ли над полем $F$ .

Определение

Определение 1. Тройка $(G,[p],i)$ , состоящая из ограниченной алгебры Ли $(G,[p])$ и гомоморфизма алгебр Ли $i:L\rightarrow G$ , называется p-оболочкой¹⁾ алгебры $L$ , если $i$ инъективно и $i(L)_p=G$ .

Пример 1. Пусть $L$ — трехмерная алгебра Ли над полем $F$ с базисом $\{h,x,y\}$ и умножением $[h,x]=x$ , $[h,y]=\alpha y$ , $[x,y]=0$ , где $\alpha\in F$ . Если $\alpha^p\neq\alpha$ , то $L$ не является ограниченной. В этом случае алгебра $G=L\oplus\langle t\rangle_F$ , где $[t,L]=0$ , является ограниченной с таким p-отображением, что $x^{[p]}=y^{[p]}=0$ , $h^{[p]}=t$ и $(h-t)^{[p]}=(\alpha-\alpha^p)^{p-1}(h-t)$ . Тройка $(G,[p],i)$ является p-оболочкой алгебры $L$ .

Определение 2. p-оболочка $(G,[p],i)$ называется универсальной²⁾, если для каждой ограниченной алгебры Ли $(H,[p]')$ и каждого гомоморфизма $\varphi:L\rightarrow H$ существует единственный p-гомоморфизм $\psi:(G,[p])\rightarrow(H,[p]')$ такой, что следующая диаграмма коммутативна
$\begin{diagram}\node[2]{L}\arrow[2]{e,t}{i}\arrow[2]{se,b}{\varphi}\node[2]{(G,[p])}\arrow[2]{s,r}{\psi}\\ \\ \node[4]{(H,[p]').}\end{diagram}$