Определение 1. Пусть — топологическое пространство. Семейство подмножеств называется базой топологии1) , если:
Пример 1. Рассмотрим топологическое пространство с обычной топологией. Множество образует базу топологии .
Определение 2. База топологии называется минимальной2), если она содержится в любой другой базе топологии .
Пример 2. Рассмотрим произвольное топологическое пространство с дискретной топологией. Все одноточечные множества образуют базу топологии . Очевидно, что — минимальная база топологии .
Теорема 1. Пусть — топологическое пространство и . Тогда является базой топологии , если и только если .
Теорема 2. Пусть — произвольное множество и — некоторое семейство подмножеств . Тогда существует топология с базой , если и только если:
Теорема 3. Если и — топологические пространства и существует общая база для топологии и топологии , то .