Определение 1. Линейной комбинацией1) векторов называется сумма произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражения вида
,
где — любые вещественные числа.
Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми2), если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов с этими числами обращается в нуль3), то есть имеет место равенство:
.
Определение 3. Векторы называются линейно независимыми4), если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.
Предложение 1. Если хотя бы один из векторов нулевой, то эти векторы являются линейно зависимыми.
Предложение 2. Если среди векторов какие-либо 5) векторов являются линейно зависимыми, то и все векторов являются линейно зависимыми.
Предложение 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них представим в виде линейной комбинации остальных.
Обобщение понятия «линейная зависимость» можно посмотреть в соответствующей статье.
Предложение 4. Два вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Предложение 5. Три вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.
Предложение 6. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Определение 4. Базисом в пространстве6) называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Определение 5. Базисом на плоскости7) называется пара неколлинеарных векторов, взятых в определенном порядке.
Определение 6. Базисом на прямой8) называется любой ненулевой вектор на этой прямой.
Определение 7. Пусть — базис в пространстве. Если
,
то говорят, что вектор разложен по базису. Числа называются координатами9) вектора в этом базисе. Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой.
Предложение 7.
Координаты вектора в каждом случае определяются однозначно.
Предложение 8. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.