Векторы в пространстве

Определение 1. Геометрическим вектором¹⁾, или просто вектором²⁾, называется направленный отрезок. Направление вектора отмечается стрелкой. Обозначаются геометрические векторы либо одной буквой латинского алфавита, например, вектор : либо двумя буквами, соответствующими начальной и конечной точкам вектора, например, вектор : Геометрический вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, называется нулевым.

Определение 2. Длиной³⁾ геометрического вектора называется расстояние между его началом и концом. Длина вектора обозначается через .

Определение 3. Геометрические векторы называются коллинеарными⁴⁾, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение 4. Геометрические векторы называются компланарными⁵⁾, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Определение 5. Два геометрических вектора называются равными⁶⁾, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и направления. Все нулевые векторы считаются равными.

Пример 1. Векторы и на рисунке равны: Говорят, что вектор получен переносом вектора в точку .

Предложение 1. Равенство геометрических векторов является отношением эквивалентности на множестве всех геометрических векторов.

Определение 6. Свободным вектором⁷⁾, или также просто вектором называется класс равных геометрических векторов.

Замечание 1. Если нет необходимости различать два равных, но не совпадающих в пространстве вектора, то подразумевают, что речь идет о свободном векторе.

Определение 7. Суммой⁸⁾ двух векторов и называется вектор, начинающийся в начале вектора и оканчивающийся в конце вектора , при условии, что вектор отложен от конца вектора : Это правило сложения векторов называют правилом треугольника⁹⁾.

Предложение 2. Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. для любых двух векторов и ;
2. для любых трех векторов , , ;
3. нулевой вектор ¹⁰⁾ обладает свойством ;
4. для каждого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий свойству .

Определение 8. Разностью векторов и называется такой вектор , что .

Определение 9. Произведением вектора на вещественное число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. Длина вектора равна ;
2. Вектор коллинеарен вектору ;
3. Векторы и направлены одинаково, если и противоположно, если .

Умножение вектора на число — это операция, сопоставляющая вектору и числу вектор . Геометрический смысл умножения вектора на число: при умножении вектора на число вектор растягивается¹¹⁾ в раз.

Предложение 3. Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1. для любых чисел и и любого вектора ;
2. для любого числа и векторов и ;
3. для любых чисел и и любого вектора .
4. Умножение любого вектора на не меняет этого вектора: .

Угол между векторами будем определять, отложив эти векторы от одной точки.

Определение 10. Два вектора называются ортогональными¹²⁾, если угол между ними прямой.

• Векторное пространство

• Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Физматлит, 2008.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.