Пусть — ограниченная алгебра Ли над полем .
Определение 1. Элемент называется p-полупростым1), если .
Определение 2. Элемент называется тороидальным2), если .
Определение 3. Элемент называется p-нильпотентным3), если существует число такое, что .
Предложение 1. Имеют место следующие утверждения:
Теорема 1. Для каждого элемента существует такое натуральное , что элемент p-полупрост.
Теорема 2. Пусть поле — совершенно, и алгебра — конечномерна. Тогда для каждого элемента существуют единственные элементы такие, что
Теорема 3. Пусть —конечномерная ограниченная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем . Тогда
Определение 4. Подалгебра называется тором4), если
Теорема 4. Пусть подалгебра в конечномерной ограниченной алгебре Ли . Тогда следующие утверждения эквивалентны
Теорема 5. Пусть и — ограниченные алгебры Ли, и — сюръективный p-гомоморфизм. Тогда