Пусть — ограниченная алгебра Ли над полем .
Определение 1. Пара , состоящая из ассоциативной алгебры с единицей и ограниченного гомоморфизма , где — алгебра Ли ассоциативной алгебры , называется ограниченной универсальной обертывающей алгеброй1), если для произвольной ассоциативной алгебры с единицей и любого ограниченного гомоморфизма существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр такой, что следующая диаграмма коммутативна
Замечание. Ограниченная универсальная обертывающая алгебра является универсальным объектом в категорном смысле, и определена с точностью до изоморфизма единственным образом.
Теорема 1.