Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
Определение 1. Ассоциативная алгебра с единицей над кольцом называется биалгеброй1), если
Определение 2. Биалгебра называется алгеброй Хопфа2), если определено -линейное отображение , удовлетворяющее условию
,
где — гомоморфизм -алгебр, а — отображение, определяющее умножение в алгебре . Отображение называется антиподом3).