проверено
Пусть — топологическое пространство, — непустое подмножество. Рассмотрим семейство подмножеств множества .
Предложение 1. Семейство подмножеств является топологией на .
Определение 1. Семейство подмножеств называется индуцированной топологией1) на , а топологическое пространство — подпространством2) топологического пространства .
Пример 1. Пусть задано топологическое пространство . Индуцированной топологией на множестве является дискретная топология.
Предложение 2. Пусть — подпространство топологического пространства . Пусть, кроме того, . Тогда замкнуто в , если и только если существует множество , замкнутое в , такое что .
Предложение 3. Пусть — топологическое пространство и . Тогда .