Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:polynomial:root [19.01.2012 20:16:03] Ладилова Анна |
glossary:polynomial:root [15.02.2014 12:08:16] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Корни многочлена ====== | ====== Корни многочлена ====== | ||
| ===== Значение многочлена ===== | ===== Значение многочлена ===== | ||
| - | Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]], содержащееся в [[:glossary:ring|коммутативном]] [[:glossary:ring:element:zero-divisor|целостном кольце]] <latex>K</latex>. | + | Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]], содержащееся в [[:glossary:ring|коммутативном]] [[:glossary:ring:element:zero-divisor|целостном кольце]] <latex>K</latex>, и <latex>A[T]</latex> --- [[:glossary:ring:polynomial|кольцо многочленов]] от одной переменной. |
| __Предложение 1.__ Для каждого элемента <latex>t\in K</latex> существует единственный [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]] <latex>\Pi_t\colon A[T]\rightarrow K</latex> такой, что | __Предложение 1.__ Для каждого элемента <latex>t\in K</latex> существует единственный [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]] <latex>\Pi_t\colon A[T]\rightarrow K</latex> такой, что | ||
| Строка 7: | Строка 7: | ||
| - <latex>\Pi_t(T)=t</latex>. | - <latex>\Pi_t(T)=t</latex>. | ||
| - | __Определение 1.__ Результат применения отображения <latex>\Pi_t</latex> к многочлену <latex>f(T)</latex> называется **значением многочлена**((value of polynomial)) <latex>f</latex> при <latex>T=t</latex>. | + | __Определение 1.__ Результат применения отображения <latex>\Pi_t</latex> к многочлену <latex>f=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n</latex>, то есть выражение <latex>\Pi_t(f)=a_0+a_1\cdot t+\ldots+a_n\cdot t^n</latex>, называется **значением многочлена**((value of polynomial)) <latex>f</latex> при <latex>T=t</latex>. |
| __Пример 1.__ Пусть <latex>f=2T^2+1</latex> --- многочлен над [[:glossary:field|полем]] [[:glossary:set:real|действительных чисел]]. Тогда его значение при <latex>T=5</latex> --- это <latex>f(5)=2\cdot5^2+1=51</latex>. | __Пример 1.__ Пусть <latex>f=2T^2+1</latex> --- многочлен над [[:glossary:field|полем]] [[:glossary:set:real|действительных чисел]]. Тогда его значение при <latex>T=5</latex> --- это <latex>f(5)=2\cdot5^2+1=51</latex>. | ||
| ===== Корень многочлена ===== | ===== Корень многочлена ===== | ||
| - | __Определение 2.__ Элемент <latex>c\in K</latex> называется **корнем многочлена**((polynomial root)) <latex>f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n</latex> из [[:glossary:ring:polynomial|кольца многочленов]] <latex>A[T]</latex>, если <WRAP centeralign><latex>f(c)=a_0+a_1c+\ldots+a_nc^n=0</latex>.</WRAP> | + | __Определение 2.__ Элемент <latex>c\in K</latex> называется **корнем многочлена**((polynomial root)) <latex>f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n</latex> из кольца многочленов <latex>A[T]</latex>, если <WRAP centeralign><latex>f(c)=a_0+a_1c+\ldots+a_nc^n=0</latex>.</WRAP> |
| __Замечание 1.__ Операции сложения и умножения при вычислении выражения <latex>a_0+a_1c+\ldots+a_nc^n</latex> производятся в кольце <latex>K</latex>. | __Замечание 1.__ Операции сложения и умножения при вычислении выражения <latex>a_0+a_1c+\ldots+a_nc^n</latex> производятся в кольце <latex>K</latex>. | ||
| Строка 19: | Строка 19: | ||
| __Пример 3.__ [[:glossary:set:complex|Мнимая единица]] <latex>i\in\mathbb{C}</latex> является корнем многочлена <latex>1+T^2\in\mathbb{R}[T]</latex>. | __Пример 3.__ [[:glossary:set:complex|Мнимая единица]] <latex>i\in\mathbb{C}</latex> является корнем многочлена <latex>1+T^2\in\mathbb{R}[T]</latex>. | ||
| ===== Теорема Безу ===== | ===== Теорема Безу ===== | ||
| - | __Теорема 1.(**Теорема Безу**)__ Элемент <latex>c\in A</latex> является корнем многочлена <latex>f\in A[X]</latex> тогда и только тогда, когда <latex>X-c</latex> делит <latex> f </latex> в кольце <latex>A[X]</latex>. | + | __Теорема 1.(**Теорема Безу**)__ Элемент <latex>c\in A</latex> является корнем многочлена <latex>f\in A[T]</latex> тогда и только тогда, когда <latex>T-c</latex> делит <latex>f</latex> в кольце <latex>A[T]</latex>. |
| ===== См. также ===== | ===== См. также ===== | ||
| * [[:glossary:field:extension:algebraic|Алгебраическое расширение поля]] | * [[:glossary:field:extension:algebraic|Алгебраическое расширение поля]] | ||
| ===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
| - | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/101898/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», Физматлит, 2001.]] | + | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]] |
| {{tag>"абстрактная алгебра" "значение многочлена" "корень многочлена" "кратность корня" "многочлен" "теорема безу"}} | {{tag>"абстрактная алгебра" "значение многочлена" "корень многочлена" "кратность корня" "многочлен" "теорема безу"}} | ||
