Введение

В этой статье содержатся определения и некоторые элементарные теоремы из теории деформаций колец и алгебр. В данном случае мы рассматривем главным образом ассоциативные кольца и алгебры, лишь кратко упоминая о лиевом случае, но определения имеют место для более широкого класса алгебр.

Данная статья состоит из трех частей. В первой показано, что вторая группа когомологий $H^2(A,A)$ алгебры $ A $ с коэффициентами в себе может рассматриваться как группа инфинитезимальных деформаций $ A $ точно так же, как первая группа когомологий (дифференцирования $ A $ в себя по модулю внутренних дифференцирований) может рассматриваться как группа инфинитезимальных автоморфизмов. Это простое наблюдение уже позволяет рассматривать обращение в нуль $H^2(A,A)$ как достаточное условие «жесткости» $ A $. (Вопрос о том, является ли это условие необходимым, открыт до сих пор.) Отсюда сразу же следует, что сепарабельные полупростые алгебры являются жесткими. Также показано, что если поле $ K $ — расширение (возможно, бесконечное) поля $ k $, то $ K $ сепарабельно над $ k $ (т.е. $ K $ и $k^{1/p}$ линейно свободны над $ k $) тогда и только тогда, когда вторая группа когомологий поля $ K $ (рассматриваемого как коммутативная алгебра над $ k $) с коэффициентами в себе обращается в нуль. Отсюда, в частности, следует, что поле, рассматриваемое как коммутативная алгебра над своим простым полем, является жестким в теории деформаций коммутативных алгебр. Эта же часть содержит доклад о формальной теории препятствий для дифференцирований и инфинитезимальных деформаций и о глобальных деформациях, индуцированных первым препятствием к дифференцированию в характеристике $ p $. Это препятствие является когомологической операцией, отображающей $H^1(A,A)$ в $H^2(A,A)$, и возможно, что кольцо когомологий некоторого кольца обладает дополнительными когомологическими операциями, аналогичными во многих отношениях операциям Стинрода.

Вторая часть главным образом посвящена обсуждению множества структурных констант для $ n $-мерных ассоциативных алгебр как параметрического пространства в теории деформаций этих алгебр. Она содержит простую, но фундаментальную теорему о полунепрерывности сверху, частный случай которой утверждает, что размерность радикала алгебры является полунепрерывной сверху функцией этой алгебры.

В последней части излагается теория деформаций для градуированных и фильтрованных колец и даются достаточные условия для того, чтобы полное фильтрованное кольцо было изоморфно своему ассоциированному градуированному кольцу. В частности видно, что алгебра $ A $ с единицей над бесконечным полем $ k $ жесткая тогда и только тогда, когда кольцо степенных рядов от одной или нескольких переменных с коэффициентами из $ A $ является жестким. (Возможно, эти предположения можно существенно ослабить.) Жесткость поля как кольца над своим простым полем влечет за собой теорему И. С. Коэна1), утверждающую, что полное равнохарактеристическое регулярное локальное кольцо является кольцом степенных рядов.

Некоторые аспекты изложенной теории деформаций и теории Фрелихера2)-Кодаиры3)-Нийенхейса4)-Спенсера5) похожи друг на друга. Сравнивая алгебраическую и аналитическую теории, можно сделать вывод, что любая теория деформаций должна включать по крайней мере следующие положения:

  1. Определение класса объектов, на которых рассматривается деформация, и отождествление инфинитезимальных деформаций данного объекта с элементами подходящей когомологической группы.
  2. Теория препятствий к интегрированию инфинитезимальных деформаций.
  3. Параметризация множества объектов, получаемых деформацией из заданного фиксированного объекта и конструкция расслоенного пространства, слоями которого являются эти объекты. Для некоторых естественных функций на параметрическом пространстве имеет место теорема о полунепрерывности сверху. Например, в алгебраической теории деформаций, как уже было замечено, размерность радикала является полунепрерывной сверху функцией алгебры.
  4. Определение естественных автоморфизмов параметрического пространства (модулярная группа данной теории) и определение жестких объектов. В некоторых случаях почти все точки параметрического пространства будут представлять один и тот же жесткий объект, разными способами вырождающийся в объекты, допускающие собственные деформации.

Некоторые вопросы, поднятые в этом очерке, в алгебраической теории решаются много проще, чем в геометрической. Например, для конечномерных алгебр множество структурных констант является алгебраическим множеством в конечномерном пространстве и может быть взято в качестве параметрического пространства. С другой стороны, некоторые вопросы кажутся одинаково неразрешимыми в обеих теориях, подобно задаче об определении, когда касательное пространство в простой точке является тождественным пространству инфинитезимальных деформаций объекта, соответствующего этой простой точке.

Снова сравнивая алгебраическую и аналитическую теории, становится заметно, что интерпретация некоторых коциклов как инфинитезимальных, где это возможно, также лежит в области «теории деформаций». Мы обсуждаем $H^n(A,A)$ для алгебры $ A $ при $n=1$ и $n=2$, но логично предположить, что группы когомологий более высокого порядка также имеют естественные интерпретации как группы инфинитезимальных объектов. В любом случае, теория деформаций для алгебр показала, что прямая сумма групп $H^n(A,A)$ обладает более богатой структурой, чем представлялось ранее. Некоторые аспекты этой структуры такие, как существование градуированного лиева, а также коммутативного и ассоциативного произведения, обсуждались в [3]. Поверхностное знание последней статьи будет в определенных случаях полезно читателю настоящей статьи. Предполагается, что читатель знаком с когомологической теорией Хохшилда, представленной в [8].

Читать часть I

1) Irvin Sol Cohen
2) Alfred Frölicher
3) Kunihiko Kodaira
4) Albert Nijenhuis
5) Donald Clayton Spencer
articles/gerstenhaber/otdoraa/chapter0.txt · Последние изменения: 15.01.2011 08:16:57 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0