Содержание

Коиндуцированный модуль

Описание

Пусть $L$ — алгебра Ли, $H$ — подалгебра в $L$, $W$ — произвольный левый $H$-модуль. $\mathcal{U}(L)$ и $\mathcal{U}(H)$ — универсальные обертывающие алгебры для $L$ и $H$ соответственно.

Определение 1. Левый $\mathcal{U}(L)$-модуль $V=\textrm{Hom}_{\mathcal{U}(H)}(\mathcal{U}(L),W)$ называется $L$-модулем, коиндуцированным $H$-модулем $ W $1). Структура $\mathcal{U}(L)$-модуля задается по правилу: $(u\cdot f)(x)=f(xu)$ для $u,x\in \mathcal{U}(L)$ и $f\in V$. Этот модуль обозначается символом $\textrm{coind}(W,L)$.

Сюръективное отображение $f\mapsto f(1)$ из $\textrm{Hom}_{\mathcal{U}(H)}(\mathcal{U}(L),W)$ в $ W $ называется каноническим.

Предложение 1. Для коиндуцированного модуля $\textrm{Hom}_{\mathcal{U}(H)}(\mathcal{U}(L),W^*)$ и индуцированного модуля $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ имеет место изоморфизм $\mathcal{U}(L)$-модулей $\textrm{Hom}_{\mathcal{U}(H)}(\mathcal{U}(L),W^*)\cong(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W)^*$.

Литература

, , ,
1)
coinduced module