Содержание

Индуцированный модуль

Индуцированный модуль

Определение

Пусть $L$ — алгебра Ли над полем $F$ , $H$ — подалгебра в $L$ , $W$ — произвольный левый $H$ -модуль. $\mathcal{U}(L)$ и $\mathcal{U}(H)$ — универсальные обертывающие алгебры для $L$ и $H$ соответственно.

Определение 1. Тензорное произведение¹⁾ $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ называется $L$ -модулем, индуцированным $H$ -модулем $W$ ²⁾ и обозначается символом $\textrm{ind}_H(W,L)$ . Индуцированный модуль $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ наделен структурой $\mathcal{U}(L)$ -модуля по правилу:

$u\cdot(x\otimes w)=ux\otimes w$ , где $u,x\in\mathcal{U}(L)$ и $w\in W$ .

Модуль $W$ вкладывается в модуль $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ : $w\mapsto 1\otimes w$ — гомоморфизм левых $H$ -модулей. Иначе говоря, $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ как $\mathcal{U}(L)$ -модуль порождается подмодулем $W\cong\mathcal{U}(H)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ .

Свойство универсальности

Предложение 1. Пусть $W$ — левый $H$ -модуль. Для произвольного левого $L$ -модуля $V$ и гомоморфизма левых $H$ -модулей $\psi\colon W\rightarrow V$ существует единственный гомоморфизм $L$ -модулей $\varphi\colon\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W\rightarrow V$ , продолжающий $\psi$ . То есть коммутативна диаграмма

$\begin{diagram}\node[2]{W}\arrow[2]{e,t}{\psi}\arrow[2]{s}\node[2]{V}\\ \\ \node[2]{\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W}\arrow[2]{ne,r}{\phi}\end{diagram}$ .

Отображение $\psi\mapsto\varphi$ задает биекцию³⁾ множества $\textrm{Hom}_{H}(W,V)$ на множество $\textrm{Hom}_{L}(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W,V)$ .

Замечание 1. Предложение 1 — ни что иное, как свойство универсальности тензорного произведения.

Свойства индуцированных модулей

Предложение 2. Пусть $W$ — левый $H$ -модуль и $W'$ — его $H$ -подмодуль. Тогда

$\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W'$ — $L$ -подмодуль в $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$

и

$\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}(W/W')$ изоморфен фактормодулю $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W/\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W'$ .

Предложение 3. Пусть $H$ — подалгебра конечномерной алгебры Ли $L$ ⁴⁾, и $\{l_1,\ldots,l_k, l_{k+1},\ldots,l_n\}$ — базис в $L$ такой, что элементы $l_{k+1},\ldots,l_n$ образуют базис $H$ , а $l_1,\ldots,l_k$ , соответственно, образуют базис дополнительного пространства к $H$ . Тогда для левого $H$ -модуля $W$ справедливо свойство

$\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ — это прямая сумма $\bigoplus_{(m_1,\ldots,m_k)\in\mathbb{N}^k}l_1^{m_1}\ldots l_k^{m_k}\otimes W$ .

Литература

Диксмье Ж. «Универсальные обертывающие алгебры», Мир, 1978.

абстрактная алгебра, алгебра Ли, индуцированный модуль, тензорное произведение, универсальная обертывающая алгебра, универсальное свойство

¹⁾

Оно определено, так как $\mathcal{U}(L)$ можно рассматривать как правый $\mathcal{U}(H)$ -модуль.

²⁾

induced module

³⁾

Это отображение можно рассматривать как изоморфизм векторных пространств над полем $F$ . Обратите внимание, что $\textrm{Hom}_{H}(W,V)$ — это $H$ -модуль, а $\textrm{Hom}_{L}(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W,V)$ — $L$ -модуль.

⁴⁾

над полем $F$

glossary/module/induced.txt · Последние изменения: 16.03.2013 06:16:23 — Ладилова Анна

Наверх