Операции над матрицами

Умножение

Задача 1. Умножить матрицы

$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\3 & 0 & 1\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ .

Решение. Порядок первой матрицы равен $2\times 3$ , второй $3\times 2$ . Указанные матрицы можно перемножить, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы ¹⁾. Результирующая матрица $C=AB$ будет иметь порядок $2\times 2$ (см. определение 13).

Найдем элементы матрицы $C=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12}\\c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}$ .

Находим $c_{11}$ — элемент 1-й строки и 1-го столбца. Берем первую строку матрицы $A$ : $\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\end{pmatrix}$ и первый столбец матрицы $B$ : $\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$ , перемножаем соответствующие координаты и складываем, получается $c_{11}=2\cdot3+1\cdot2+1\cdot1=9$ .
Находим $c_{12}$ — элемент 1-й строки и 2-го столбца. Берем первую строку матрицы $A$ : $\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\end{pmatrix}$ и второй столбец матрицы $B$ : $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ , перемножаем соответствующие координаты и складываем, получается $c_{12}=2\cdot1+1\cdot1+1\cdot0=3$ .
Находим $c_{21}$ — элемент 2-й строки и 1-го столбца. Берем вторую строку матрицы $A$ : $\begin{pmatrix}3 & 0 & 1\end{pmatrix}$ и первый столбец матрицы $B$ : $\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$ , перемножаем соответствующие координаты и складываем, получается $c_{21}=3\cdot3+0\cdot2+1\cdot1=10$ .
Находим $c_{22}$ — элемент 2-й строки и 2-го столбца. Берем вторую строку матрицы $A$ : $\begin{pmatrix}3 & 0 & 1\end{pmatrix}$ и вторую столбец матрицы $B$ : $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ , перемножаем соответствующие координаты и складываем, получается $c_{11}=3\cdot1+0\cdot1+1\cdot0=3$ .

В результате $C=AB=\begin{pmatrix}9 & 3\\10 & 3\end{pmatrix}$ .

Замечание. Обычно произведение матриц находят менее подробно, записывая

$\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\3 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot3+1\cdot2+1\cdot1 & 2\cdot1+1\cdot1+1\cdot0\\ 3\cdot3+0\cdot2+1\cdot1 & 3\cdot1+0\cdot1+1\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 3\\10 & 3\end{pmatrix}$ .

Задача 2. Умножить матрицы

$B=\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ и $A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\3 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Решение.

$\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\3 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 2+1\cdot 3 & 3\cdot 1+1\cdot 0 & 3\cdot 1+1\cdot 1\\2\cdot 2+1\cdot 3 & 2\cdot 1+1\cdot 0 & 2\cdot 1+1\cdot 1\\1\cdot 2+0\cdot 3 & 1\cdot 1+0\cdot 0 & 1\cdot 1+0\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 3 & 4\\7 & 2 & 3\\2 & 1 & 1\end{pmatrix}$ .

¹⁾

равно 3

solved/algebra/linear/matrix/operations.txt · Последние изменения: 17.01.2011 02:02:21 — Ладилова Анна

Наверх