Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия
Предыдущая версия
glossary:topology:sheaf [15.09.2011 00:28:27]
Ладилова Анна
glossary:topology:sheaf [16.01.2015 13:23:18]
Ладилова Анна
Строка 1: Строка 1:
 ====== Пучок топологического пространства ====== ====== Пучок топологического пространства ======
-<wrap hide>​проверено</​wrap>​ 
 ===== Определение пучка ===== ===== Определение пучка =====
 __Определение 1.__ [[:​glossary:​topology:​presheaf|Предпучок]] <​latex>​\mathcal{F}</​latex>​ [[:​glossary:​topology|топологического пространства]] <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ называется **пучком**((sheaf)),​ если для произвольного [[:​glossary:​topology|открытого подмножества]] <​latex>​ U </​latex>​ и его [[:​glossary:​topology:​cover|открытого покрытия]] <​latex>​\{V_i\vert i\in\mathcal{I}\}</​latex>​ выполнены __Определение 1.__ [[:​glossary:​topology:​presheaf|Предпучок]] <​latex>​\mathcal{F}</​latex>​ [[:​glossary:​topology|топологического пространства]] <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ называется **пучком**((sheaf)),​ если для произвольного [[:​glossary:​topology|открытого подмножества]] <​latex>​ U </​latex>​ и его [[:​glossary:​topology:​cover|открытого покрытия]] <​latex>​\{V_i\vert i\in\mathcal{I}\}</​latex>​ выполнены
Строка 22: Строка 21:
  
 __Определение 4.__ Пусть <​latex>​\mathcal{F}'</​latex>​ --- подпучок пучка <​latex>​\mathcal{F}</​latex>​. Пучок <​latex>​\mathcal{F}/​\mathcal{F}'</​latex>,​ ассоциированный с предпучком <​latex>​\mathcal{F}/​\mathcal{F}'​(U)=\mathcal{F}(U)/​\mathcal{F}'​(U)</​latex>​ называется **факторпучком**((factor shief)). __Определение 4.__ Пусть <​latex>​\mathcal{F}'</​latex>​ --- подпучок пучка <​latex>​\mathcal{F}</​latex>​. Пучок <​latex>​\mathcal{F}/​\mathcal{F}'</​latex>,​ ассоциированный с предпучком <​latex>​\mathcal{F}/​\mathcal{F}'​(U)=\mathcal{F}(U)/​\mathcal{F}'​(U)</​latex>​ называется **факторпучком**((factor shief)).
 +===== Пучок колец на простом спектре =====
 +Для простого идеала <​latex>​\mathfrak{p}\subset A</​latex>​ через <​latex>​A_{\mathfrak{p}}</​latex>​ обозначается [[:​glossary:​ring:​commutative:​quotient#​локализация|локальное кольцо]] кольца <​latex>​A</​latex>​.
 +
 +[[:​glossary:​topology:​sheaf|Пучок]] <​latex>​\mathcal{O}</​latex>​ на простом спектре кольца <​latex>​A</​latex>​ определяется следующим образом. Каждому [[:​glossary:​topology|открытому]] подмножеству <​latex>​U\subseteq\textrm{Spec}~A</​latex>​ поставим в соответствие множество <​latex>​\mathcal{O}(U)=\{s\colon U\rightarrow\prod_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}}\}</​latex>,​ в котором отображения <​latex>​s</​latex>​ удовлетворяют свойствам
 +  - <​latex>​s(\mathfrak{p})\in A_{\mathfrak{p}}</​latex>​ для любого <​latex>​\mathfrak{p}\in U</​latex>;​
 +  - для любой точки <​latex>​\mathfrak{p}\in U</​latex>​ существуют ее открытая окрестность <​latex>​\mathfrak{p}\in V\subseteq U</​latex>​ и элементы кольца <​latex>​a,​f\in A</​latex>,​ что <​latex>​s(\mathfrak{q})=\dfrac{a}{f},​f\not\in\mathfrak{q}</​latex>​ для произвольной точки <​latex>​\mathfrak{q}\in V</​latex>​.
 +
 +Множество <​latex>​\mathcal{O}(U)</​latex>​ является кольцом с операцией [[:​glossary:​operation:​binary:​algebraic#​группоид|сложения]] <​latex>​+</​latex>​ и операцией [[:​glossary:​operation:​binary:​algebraic#​группоид|умножения]] <​latex>​\cdot</​latex>,​ определенными формулами:​
 +  - <​latex>​(s+s'​)(\mathfrak{p})=s(\mathfrak{p})+s'​(\mathfrak{p})</​latex>;​
 +  - <​latex>​(s\cdot s'​)(\mathfrak{p})=s(\mathfrak{p})\cdot s'​(\mathfrak{p})</​latex>​.
 +[[:​glossary:​element:​groupoid:​identity|Единичный]] и [[:​glossary:​element:​groupoid:​identity|нулевой]] элементы этого кольца --- отображения,​ переводящие каждую точку <​latex>​\mathfrak{p}\in U</​latex>​ в 0 и 1 кольца <​latex>​A_{\mathfrak{p}}</​latex>,​ соответственно.
 +
 +__Теорема 1.__ Топологическое пространство <​latex>​\textrm{Spec}~A</​latex>​ вместе с определенным выше пучком колец является [[:​glossary:​topology:​space:​ringed|локально окольцованным пространством]].
 ===== См. также ===== ===== См. также =====
   * [[:​glossary:​topology:​sheaf:​morphism|Морфизм пучков]]   * [[:​glossary:​topology:​sheaf:​morphism|Морфизм пучков]]
Строка 28: Строка 40:
   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​105336/?​partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия»,​ Мир, 1981.]]   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​105336/?​partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия»,​ Мир, 1981.]]
  
-{{tag>"​топология" "​подпучок"​ "​постоянный пучок"​ "​предпучок"​ "​пучок"​ "​топологическое пространство"​ "​факторпучок"​}}+{{tag>"​алгебраическая геометрия" "​подпучок"​ "​постоянный пучок"​ "​предпучок"​ "​пучок"​ "​топологическое пространство"​ "​факторпучок"​}}
glossary/topology/sheaf.txt · Последние изменения: 16.01.2015 13:23:18 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0