Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
glossary:topology:sheaf [20.09.2011 20:33:32] Ладилова Анна |
glossary:topology:sheaf [16.01.2015 10:23:18] (текущий) Ладилова Анна |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
====== Пучок топологического пространства ====== | ====== Пучок топологического пространства ====== | ||
- | <wrap hide>проверено</wrap> | ||
===== Определение пучка ===== | ===== Определение пучка ===== | ||
__Определение 1.__ [[:glossary:topology:presheaf|Предпучок]] <latex>\mathcal{F}</latex> [[:glossary:topology|топологического пространства]] <latex>(X,\tau)</latex> называется **пучком**((sheaf)), если для произвольного [[:glossary:topology|открытого подмножества]] <latex> U </latex> и его [[:glossary:topology:cover|открытого покрытия]] <latex>\{V_i\vert i\in\mathcal{I}\}</latex> выполнены | __Определение 1.__ [[:glossary:topology:presheaf|Предпучок]] <latex>\mathcal{F}</latex> [[:glossary:topology|топологического пространства]] <latex>(X,\tau)</latex> называется **пучком**((sheaf)), если для произвольного [[:glossary:topology|открытого подмножества]] <latex> U </latex> и его [[:glossary:topology:cover|открытого покрытия]] <latex>\{V_i\vert i\in\mathcal{I}\}</latex> выполнены | ||
Строка 22: | Строка 21: | ||
__Определение 4.__ Пусть <latex>\mathcal{F}'</latex> --- подпучок пучка <latex>\mathcal{F}</latex>. Пучок <latex>\mathcal{F}/\mathcal{F}'</latex>, ассоциированный с предпучком <latex>\mathcal{F}/\mathcal{F}'(U)=\mathcal{F}(U)/\mathcal{F}'(U)</latex> называется **факторпучком**((factor shief)). | __Определение 4.__ Пусть <latex>\mathcal{F}'</latex> --- подпучок пучка <latex>\mathcal{F}</latex>. Пучок <latex>\mathcal{F}/\mathcal{F}'</latex>, ассоциированный с предпучком <latex>\mathcal{F}/\mathcal{F}'(U)=\mathcal{F}(U)/\mathcal{F}'(U)</latex> называется **факторпучком**((factor shief)). | ||
+ | ===== Пучок колец на простом спектре ===== | ||
+ | Для простого идеала <latex>\mathfrak{p}\subset A</latex> через <latex>A_{\mathfrak{p}}</latex> обозначается [[:glossary:ring:commutative:quotient#локализация|локальное кольцо]] кольца <latex>A</latex>. | ||
+ | |||
+ | [[:glossary:topology:sheaf|Пучок]] <latex>\mathcal{O}</latex> на простом спектре кольца <latex>A</latex> определяется следующим образом. Каждому [[:glossary:topology|открытому]] подмножеству <latex>U\subseteq\textrm{Spec}~A</latex> поставим в соответствие множество <latex>\mathcal{O}(U)=\{s\colon U\rightarrow\prod_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}}\}</latex>, в котором отображения <latex>s</latex> удовлетворяют свойствам | ||
+ | - <latex>s(\mathfrak{p})\in A_{\mathfrak{p}}</latex> для любого <latex>\mathfrak{p}\in U</latex>; | ||
+ | - для любой точки <latex>\mathfrak{p}\in U</latex> существуют ее открытая окрестность <latex>\mathfrak{p}\in V\subseteq U</latex> и элементы кольца <latex>a,f\in A</latex>, что <latex>s(\mathfrak{q})=\dfrac{a}{f},f\not\in\mathfrak{q}</latex> для произвольной точки <latex>\mathfrak{q}\in V</latex>. | ||
+ | |||
+ | Множество <latex>\mathcal{O}(U)</latex> является кольцом с операцией [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] <latex>+</latex> и операцией [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножения]] <latex>\cdot</latex>, определенными формулами: | ||
+ | - <latex>(s+s')(\mathfrak{p})=s(\mathfrak{p})+s'(\mathfrak{p})</latex>; | ||
+ | - <latex>(s\cdot s')(\mathfrak{p})=s(\mathfrak{p})\cdot s'(\mathfrak{p})</latex>. | ||
+ | [[:glossary:element:groupoid:identity|Единичный]] и [[:glossary:element:groupoid:identity|нулевой]] элементы этого кольца --- отображения, переводящие каждую точку <latex>\mathfrak{p}\in U</latex> в 0 и 1 кольца <latex>A_{\mathfrak{p}}</latex>, соответственно. | ||
+ | |||
+ | __Теорема 1.__ Топологическое пространство <latex>\textrm{Spec}~A</latex> вместе с определенным выше пучком колец является [[:glossary:topology:space:ringed|локально окольцованным пространством]]. | ||
===== См. также ===== | ===== См. также ===== | ||
* [[:glossary:topology:sheaf:morphism|Морфизм пучков]] | * [[:glossary:topology:sheaf:morphism|Морфизм пучков]] |