Это старая версия документа!


Предпучок топологического пространства

Определение

Определение 1. Пусть $(X,\tau)$топологическое пространство. Говорят, что на $X$ задан предпучок1) абелевых групп (колец, алгебр) $\mathcal{F}$ если каждому открытому подмножеству $U\in\tau$ поставлена в соответствие абелева группа (кольцо, алгебра) $\mathcal{F}(U)$, а для каждой пары открытых подмножеств $V,U\in\tau$ таких, что $V\subseteq U$, определен морфизм абелевых групп (колец, алгебр) $\rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{F}(V)$, причем выполнены следующие условия:

  1. $\mathcal{F}(\varnothing)=0$;
  2. $\rho_{UU}=\textrm{id}_{\mathcal{F}(U)}$;
  3. $W\subseteq V\subseteq U\Rightarrow\rho_{UW}=\rho_{VW}\circ\rho_{UV}$.

Элементы $\mathcal{F}(U)$ называются сечениями предпучка2) $\mathcal{F}$ над открытым множеством $ U $. Отображения $\rho_{UV}$ называются отображениями ограничения3). Часто для $s\in\mathcal{F}(U)$ вместо $\rho_{UV}(s)$ пишут $s\vert_{V}$.

Пример 1. Пусть $X$ — топологическое пространство и $A$ — абелева группа. Для каждого непустого открытого множества $U$ положим $\mathcal{A}(U)=A$. Тогда вместе с тождественными отображениями ограничения набор групп $\mathcal{A}(U)$ задает предпучок $\mathcal{A}$. Этот предпучок называется постоянным4).

Пример 2. Пусть $X$ — топологическое пространство и $M$ — произвольное множество. Для каждого непустого открытого подмножества $U$ из $X$ положим $\mathcal{F}(U)$ — множество всех функций $f\colon U\rightarrow M$. Для $V\subseteq U$ отображение ограничения $\rho_{UV}$ — естественное ограничение функции на помножество. Тогда легко видеть, что $\mathcal{F}$ — предпучок, который называется предпучком всех функций на $X$.

Определение 2. Слоем5) $\mathcal{F}_P$ предпучка $\mathcal{F}$ в точке $P\in X$ называется прямой предел абелевых групп (колец, алгебр) $\mathcal{F}(U)$ (относительно отображений ограничения) по всем окрестностям $ U $ точки $ P $. Элементы слоя $\mathcal{F}_P$ называются ростками6) сечений предпучка $\mathcal{F}$ в точке $ P $.

Замечание 1. Пусть $\mathcal{T}(X)$ категория, объекты которой — множества $U\in\tau$, а морфизмы $\textrm{Hom}(V,U)$ — отображения вложения. Тогда предпучок — это контравариантный функтор из категории $\mathcal{T}(X)$ в категорию $\mathcal{A}$ абелевых групп (колец, алгебр).

Структурный предпучок

Пример 3. Пусть $A$целостное кольцо. Обозначим через $K$ его поле частных. Кольцу $A$ соответствует топологическое пространство $\textrm{Spec}~A$простой спектр кольца. Для каждого открытого подмножества $U\subseteq\textrm{Spec}~A$ определим множество $\mathcal{O}(U)$ таких элементов $u\in K$, что в каждой точке $x\in U$ существует представление $u=\frac{a}{b}$, где $b(x)\neq 0$7). Из построения $\mathcal{O}(U)$ немедленно следует, что это кольцо, содержащееся в $K$. Кроме того, если $V\subset U$, то $\mathcal{O}(U)\subset\mathcal{O}(V)$ — естественное вложение. Легко видеть, что набор колец $\mathcal{O}(U)$ вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на $\textrm{Spec}~A$. Это частный случай структурного предпучка для целостного кольца.

См. также

Литература

1)
presheaf
2)
section of shief
3)
restriction mapping
4)
constant presheaf
5)
fiber
6)
germ
7)
или, что то же самое, $b\not\in x$
glossary/topology/presheaf.1421403557.txt.gz · Последние изменения: 16.01.2015 10:19:17 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0